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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0013
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.
13
wobei p>2 ist. Damit ist eine notwendige Bedingung für eine Para-
metersingularität gefunden:
a) m muß ungerade ^>2 und n ein ganzzahliges Viel-
faches n — mp v o n m sein, p 2.
8. Der Fall n = mp. Ist m ungerade ^>2 und n = mp, dann
liegt in Po nach den soeben gemachten Bemerkungen dann und nur
dann eine Parametersingularität vor, wenn <7 (r) in Jz für/z = ~=pdie
Voraussetzungen II —IV erfüllt. Dabei ist ganzzahlig . Da
nach Nr. 5 in V4 nur im Punkte f = 0 die Ableitung cp' (/) verschwindet
und außerdem im ganzen Intervalle cp (f) und % (0 den Bedingungen II
und III für p = v = n genügen, befriedigt nach den Gin. (5) in allen
Punkten von JT außerhalb des Nullpunktes g(r) die Forderung II für
p = P’, auch + ist, außer im Punkte 0, stetig, weil +
existiert.
— 1
1*"*, im Zähler
(n—1)! \(wi— 1)!/
•-7-—~. Daher ist Um c/w(t) = O für und Um </p)(t)/'0
F- z—>±o T—>±o
und endlich.
Für £ = 0 sind durch die Gin. (5) zwar nicht die Ableitungen aber
ihre Grenzwerte bestimmt: ordnet man die Zo nach steigenden Poten-
zen von t und bringt man in ,9W(t) alle Brüche auf den Nenner
<p’(t)2r *, dann beginnt die Entwicklung im Zähler für r p^jp mit der
(mp + mr —2r —m-|-l)-ten Potenz von t, im Nenner mit der (m — 1) •
• (2r—l)-ten. Der Faktor des niedrigsten Gliedes ist dabei, wie man
leicht berechnet, im Nenner (
\(m— 1)!/
Läßt man diese Funktionen für r=0 ihren Grenzwert annehmen,
dann genügt innerhalb Jz die Funktion g\r) den Voraussetzungen I,
II, IV, gleichgültig, ob es sich um eine Kurven- oder Parameter-
singularität in Po handelt, wenn nur a) zutrifft. Damit bleibt als
charakteristische Bedingung für eine Parametersingularität nur noch
III für g(r) übrig; zu deren Erfüllung genügt, wegen der erwähnten
Stetigkeit von g'v : 1)(r), die Tatsache, daß ri(j) in irgendeinem
Intervall um den Nullpunkt beschränkt ist. Da</(r) nach Nr. 3 nichts
anderes ist als y(x}, ergibt sich die Forderung
b) ' 1)(^) muß beschränkt sein in irgend einem (be-
liebig engen) abgeschlossenen ^-Intervall mit dem Null-
punkt als innere m Punk t.
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wobei p>2 ist. Damit ist eine notwendige Bedingung für eine Para-
metersingularität gefunden:
a) m muß ungerade ^>2 und n ein ganzzahliges Viel-
faches n — mp v o n m sein, p 2.
8. Der Fall n = mp. Ist m ungerade ^>2 und n = mp, dann
liegt in Po nach den soeben gemachten Bemerkungen dann und nur
dann eine Parametersingularität vor, wenn <7 (r) in Jz für/z = ~=pdie
Voraussetzungen II —IV erfüllt. Dabei ist ganzzahlig . Da
nach Nr. 5 in V4 nur im Punkte f = 0 die Ableitung cp' (/) verschwindet
und außerdem im ganzen Intervalle cp (f) und % (0 den Bedingungen II
und III für p = v = n genügen, befriedigt nach den Gin. (5) in allen
Punkten von JT außerhalb des Nullpunktes g(r) die Forderung II für
p = P’, auch + ist, außer im Punkte 0, stetig, weil +
existiert.
— 1
1*"*, im Zähler
(n—1)! \(wi— 1)!/
•-7-—~. Daher ist Um c/w(t) = O für und Um </p)(t)/'0
F- z—>±o T—>±o
und endlich.
Für £ = 0 sind durch die Gin. (5) zwar nicht die Ableitungen aber
ihre Grenzwerte bestimmt: ordnet man die Zo nach steigenden Poten-
zen von t und bringt man in ,9W(t) alle Brüche auf den Nenner
<p’(t)2r *, dann beginnt die Entwicklung im Zähler für r p^jp mit der
(mp + mr —2r —m-|-l)-ten Potenz von t, im Nenner mit der (m — 1) •
• (2r—l)-ten. Der Faktor des niedrigsten Gliedes ist dabei, wie man
leicht berechnet, im Nenner (
\(m— 1)!/
Läßt man diese Funktionen für r=0 ihren Grenzwert annehmen,
dann genügt innerhalb Jz die Funktion g\r) den Voraussetzungen I,
II, IV, gleichgültig, ob es sich um eine Kurven- oder Parameter-
singularität in Po handelt, wenn nur a) zutrifft. Damit bleibt als
charakteristische Bedingung für eine Parametersingularität nur noch
III für g(r) übrig; zu deren Erfüllung genügt, wegen der erwähnten
Stetigkeit von g'v : 1)(r), die Tatsache, daß ri(j) in irgendeinem
Intervall um den Nullpunkt beschränkt ist. Da</(r) nach Nr. 3 nichts
anderes ist als y(x}, ergibt sich die Forderung
b) ' 1)(^) muß beschränkt sein in irgend einem (be-
liebig engen) abgeschlossenen ^-Intervall mit dem Null-
punkt als innere m Punk t.