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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0015
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.
15
Gin. (5) gemachten Bemerkungen folgt dabei einfach, daß für cp (/) die
ersten 2 m Ableitungen genügen; diese sind durch VI gesichert. Da-
gegen muß man von % (/) über V hinaus die ersten Ableitungen
voraussetzen, die letzte von ihnen beschränkt.
10. Der Parameter s. Definiert man die auf dem Kurven-
stücke (C) gemessene Bogenlänge s in der üblichen Weise durch
(11)
s= f(/)2-|-% (/)2dt
o
und denkt man sich s als Parameter eingeführt, so daß die beiden
Funktionen a;=0(s), y = X(P) die Vosaussetzungen I—VII erfüllen
und eine (beiderseitige) Umgebung von Fo auf (C) darstellen, dann ist
beständig P'(s)2 + V/(s)2 = 1, d. h. Po ist, wie in der Einleitung er-
wähnt, in dieser Parameterdarstellung regulär, gleichgültig, ob der
Punkt in bezug auf den Parameterwert t regulär oder singulär ist.
Daraus scheint im Widerspruche zum bisherigen zu folgen, daß es über-
haupt nur Parametersingularitäten gebe. Die Lösung dieser Paradoxie
ergibt sich bei genauerer Betrachtung der Parameterdarstellung durch s
in der Umgebung von Po, wobei Po für den Parameter t singulär
vorausgesetzt sei.
Vermöge Nr. 5 und Gl. (11) ist in dem Intervall J4, den Null-
punkt ausgenommen, ^)>0. Für gerades m ist in J\ rechts vom
Nullpunkte links davon <(0; daraus folgt, da s das Vor¬
zeichen von t hat,
s
dx
ds
t
dx dt
dt ds
und lim 7 = — 1,
s—>—orös
d. li. <Z>(s) hat in Po keine beiderseitige Derivierte <U(s) im Sinne von I.
Daher wäre die Bogenlänge so zu definieren, daß x und s in der Um-
gebung von Po im Vorzeichen übereinstimmen:
(!2)
Nun hätte in einer Umgebung von Po die Ableitung das Vor-
zeichen von cp' und damit auch von t, folglich wäre s außerhalb
des Nullpunktes beständig positiv. Nur die positiven oder nur die
negativen /-Werte mit Hinzufügung des Wertes 0 würden schon alle
s-Werte und damit das ganze durch s dargestellte Kurvenstück liefern,
das daher den einen Endpunkt Po hätte. <P(s) und V(s) können
demnach eine (beiderseitige) Umgebung von Po nur liefern, wenn m
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Gin. (5) gemachten Bemerkungen folgt dabei einfach, daß für cp (/) die
ersten 2 m Ableitungen genügen; diese sind durch VI gesichert. Da-
gegen muß man von % (/) über V hinaus die ersten Ableitungen
voraussetzen, die letzte von ihnen beschränkt.
10. Der Parameter s. Definiert man die auf dem Kurven-
stücke (C) gemessene Bogenlänge s in der üblichen Weise durch
(11)
s= f(/)2-|-% (/)2dt
o
und denkt man sich s als Parameter eingeführt, so daß die beiden
Funktionen a;=0(s), y = X(P) die Vosaussetzungen I—VII erfüllen
und eine (beiderseitige) Umgebung von Fo auf (C) darstellen, dann ist
beständig P'(s)2 + V/(s)2 = 1, d. h. Po ist, wie in der Einleitung er-
wähnt, in dieser Parameterdarstellung regulär, gleichgültig, ob der
Punkt in bezug auf den Parameterwert t regulär oder singulär ist.
Daraus scheint im Widerspruche zum bisherigen zu folgen, daß es über-
haupt nur Parametersingularitäten gebe. Die Lösung dieser Paradoxie
ergibt sich bei genauerer Betrachtung der Parameterdarstellung durch s
in der Umgebung von Po, wobei Po für den Parameter t singulär
vorausgesetzt sei.
Vermöge Nr. 5 und Gl. (11) ist in dem Intervall J4, den Null-
punkt ausgenommen, ^)>0. Für gerades m ist in J\ rechts vom
Nullpunkte links davon <(0; daraus folgt, da s das Vor¬
zeichen von t hat,
s
dx
ds
t
dx dt
dt ds
und lim 7 = — 1,
s—>—orös
d. li. <Z>(s) hat in Po keine beiderseitige Derivierte <U(s) im Sinne von I.
Daher wäre die Bogenlänge so zu definieren, daß x und s in der Um-
gebung von Po im Vorzeichen übereinstimmen:
(!2)
Nun hätte in einer Umgebung von Po die Ableitung das Vor-
zeichen von cp' und damit auch von t, folglich wäre s außerhalb
des Nullpunktes beständig positiv. Nur die positiven oder nur die
negativen /-Werte mit Hinzufügung des Wertes 0 würden schon alle
s-Werte und damit das ganze durch s dargestellte Kurvenstück liefern,
das daher den einen Endpunkt Po hätte. <P(s) und V(s) können
demnach eine (beiderseitige) Umgebung von Po nur liefern, wenn m