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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0018
18
R. Baldus:
abzahlbar unendlich viele Gleichungen. Diese treten auch an die Stelle
der am Schlüsse von Nr. 9 erwähnten endlich vielen Gleichungen.
Auch hier erkennt man wieder einfach, daß die Bogenlänge s als
Parameter nur in der Umgebung eines Punktes möglich ist, in dem
keine Kurvensingularität vorliegt. Genau wie in Nr. 10 und 11 findet
man wieder die Bedingung a). Aus lim || = +1 folgt, daß, wenn
x in der Umgebung von Po durch eine Potenzreihe in s darstellbar
ist, diese umkehrbar ist und daher y als Potenzreihe von s auch eine
Potenzreihe von x ist.
13. Komplexe analytische Kurven. Wesentlich anders
liegen die Verhältnisse im Komplexen.27) Die Parameterdarstellung
eines Elementes (C) einer komplexen analytischen Linie,
= iQ der Umgebung eines dem Parameterwerte / = 0 entsprechen-
den Punktes Po wird durch zwei in einer Umgebung um t = kon-
vergente Potenzreihen geleistet, wobei jedes Wertepaar x, y nur einmal
auftritt. Ist Po ein regulärer Punkt, dann kann man auch hier, wie
im bisherigen, ^(7) mit der ersten Potenz beginnen lassen,
einer höheren, während für einen singulären Punkt die beiden Potenz-
reihen mit höheren Potenzen als der ersten beginnen.
Führt man einen neuen Parameter t mit Hilfe einer Potenzreihe
Z = ein, dann muß, wenn die Abbildung von (C). auf den neuen
Parameterbereich in der Umgebung des Nullpunktes ebenfalls ein-
deutig sein soll, 5ß(r) mit der ersten Potenz beginnen. Demnach bleibt
| FGOwilclEGE I . «
ein • > Punkt in jeder anderen zulässigen Parameterdar-
(singulärer) J ö
, es gibt hier keine Parametersingu 1 ari-
II. Kurven im r-dimensionalen Raume.29)
14. Das begleitende r-Kant. Die singulären Punkte reeller
unebener Kurven in einem linearen r- dimensionalen Raume (r)>2 und
27) Vgl. dazu v. Mangoldt, Linie Nr. 6.
28) Das Auftreten von Parametersingularitäten bei reellen Kurven ist dadurch
zu erklären, daß die Beziehung zwischen dem alten und dem neuen Parameter
zwar komplex mehrdeutig aber in den betreffenden Intervallen reell umkehrbar
eindeutig ist. Man vgl. hierzu das in der Einleitung gegebene einfachste Bei-
spiel T — t\
29) Die Bezeichnungsweise ist hier die gleiche wie bei C. Segre, Mehr-
dimensionale Räume, Enz. d. math. Wiss. III C 7, vor allem Nr. 24.
Stellung
b (smgularj
täten. 28)
R. Baldus:
abzahlbar unendlich viele Gleichungen. Diese treten auch an die Stelle
der am Schlüsse von Nr. 9 erwähnten endlich vielen Gleichungen.
Auch hier erkennt man wieder einfach, daß die Bogenlänge s als
Parameter nur in der Umgebung eines Punktes möglich ist, in dem
keine Kurvensingularität vorliegt. Genau wie in Nr. 10 und 11 findet
man wieder die Bedingung a). Aus lim || = +1 folgt, daß, wenn
x in der Umgebung von Po durch eine Potenzreihe in s darstellbar
ist, diese umkehrbar ist und daher y als Potenzreihe von s auch eine
Potenzreihe von x ist.
13. Komplexe analytische Kurven. Wesentlich anders
liegen die Verhältnisse im Komplexen.27) Die Parameterdarstellung
eines Elementes (C) einer komplexen analytischen Linie,
= iQ der Umgebung eines dem Parameterwerte / = 0 entsprechen-
den Punktes Po wird durch zwei in einer Umgebung um t = kon-
vergente Potenzreihen geleistet, wobei jedes Wertepaar x, y nur einmal
auftritt. Ist Po ein regulärer Punkt, dann kann man auch hier, wie
im bisherigen, ^(7) mit der ersten Potenz beginnen lassen,
einer höheren, während für einen singulären Punkt die beiden Potenz-
reihen mit höheren Potenzen als der ersten beginnen.
Führt man einen neuen Parameter t mit Hilfe einer Potenzreihe
Z = ein, dann muß, wenn die Abbildung von (C). auf den neuen
Parameterbereich in der Umgebung des Nullpunktes ebenfalls ein-
deutig sein soll, 5ß(r) mit der ersten Potenz beginnen. Demnach bleibt
| FGOwilclEGE I . «
ein • > Punkt in jeder anderen zulässigen Parameterdar-
(singulärer) J ö
, es gibt hier keine Parametersingu 1 ari-
II. Kurven im r-dimensionalen Raume.29)
14. Das begleitende r-Kant. Die singulären Punkte reeller
unebener Kurven in einem linearen r- dimensionalen Raume (r)>2 und
27) Vgl. dazu v. Mangoldt, Linie Nr. 6.
28) Das Auftreten von Parametersingularitäten bei reellen Kurven ist dadurch
zu erklären, daß die Beziehung zwischen dem alten und dem neuen Parameter
zwar komplex mehrdeutig aber in den betreffenden Intervallen reell umkehrbar
eindeutig ist. Man vgl. hierzu das in der Einleitung gegebene einfachste Bei-
spiel T — t\
29) Die Bezeichnungsweise ist hier die gleiche wie bei C. Segre, Mehr-
dimensionale Räume, Enz. d. math. Wiss. III C 7, vor allem Nr. 24.
Stellung
b (smgularj
täten. 28)