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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0019
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.
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endlich) lassen sich unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse be-
handeln. Dabei mögen die Betrachtungen von Nr. 1 — 9 zugrunde
gelegt werden; die den Nrn. 10—13 entsprechenden Bemerkungen
sind dann selbstverständlich.
Ist (Cr) ein solches Kurvenstück, das mit keinem Teilstück in
einer ((r — l)-climensionalen) Hyperebene (oder einem niedrigeren Raume)
liegt und sind xv=cpv(f), v=l, 2 . . .r dessen Gleichungen, dann hat
ein innerer Punkt Po von (Cr) eine Schmiegungshyperebene Or l,
deren Winkel gegen die Koordinatenachsen Cosinuswerte haben, die
den (r — 1) -reihigen Determinanten der Matrix
<Pi
<P2 . . .
(16)
//
<P1
//
C2 • • •
proportional sind.
Wählt man Po als Anfangspunkt des Koordinatensystems, Or j
als die Koordinatenhyperebene xr — 0, dann müssen die erwähnten Co-
sinuswerte für t^±0 sich alle der 0 nähern, mit Ausnahme des letz-
ten, der einen der Grenzwerte ±1 hat. Die senkrechte Projektion (Cr_ j)
von (Cr) parallel zur Xr- Achse in die Koordinatenhyperebene Or x
hat ihrerseits in Po einen Schmiegungsraum Or_2, dessen Richtungen
gegen die Koordinatenachsen Xv X2, au^ die (r — 2)-
reihigen Determinanten der aus (16) durch Streichung der letzten
Zeile und letzten Kolonne entstehenden Matrix führen. Über die Co-
sinusgrenzwerte gilt dabei das entsprechende, wenn man Or_2 zum
Koordinatenraume xr — 0, xr_1 = 0 macht. Projiziert man nun wieder
(ür -i) in OJ._2 ,u. s. f., dann gelangt man zu einem Koordinatensysteme
mit dem Anfangspunkte Po, zu dessen Koordinatenräumen die Tan-
gente von (Cr) in Po gehört, die Schmiegungsebene sowie alle höheren
Schmiegungsräume in Po bis zur Schmiegungshyperebene. Die Ge-
samtheit der Achsen dieses Koordinatensystems bildet das beglei-
tende r-Kant in Po.
Sind nun die <pv (Z) und deren erste (r — 1) Ableitungen in der
Umgebung von ^ = 0 nach steigenden Potenzen von t entwickelbar,
<pv tr ' 14" • • • ; dann folgt aus den Cosinusgrenzwerten,
daß bei der Wahl des begleitenden r-Kantes in Po als
Koordinatensystem zwischen den (ganzzahligen) /z die
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endlich) lassen sich unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse be-
handeln. Dabei mögen die Betrachtungen von Nr. 1 — 9 zugrunde
gelegt werden; die den Nrn. 10—13 entsprechenden Bemerkungen
sind dann selbstverständlich.
Ist (Cr) ein solches Kurvenstück, das mit keinem Teilstück in
einer ((r — l)-climensionalen) Hyperebene (oder einem niedrigeren Raume)
liegt und sind xv=cpv(f), v=l, 2 . . .r dessen Gleichungen, dann hat
ein innerer Punkt Po von (Cr) eine Schmiegungshyperebene Or l,
deren Winkel gegen die Koordinatenachsen Cosinuswerte haben, die
den (r — 1) -reihigen Determinanten der Matrix
<Pi
<P2 . . .
(16)
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<P1
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C2 • • •
proportional sind.
Wählt man Po als Anfangspunkt des Koordinatensystems, Or j
als die Koordinatenhyperebene xr — 0, dann müssen die erwähnten Co-
sinuswerte für t^±0 sich alle der 0 nähern, mit Ausnahme des letz-
ten, der einen der Grenzwerte ±1 hat. Die senkrechte Projektion (Cr_ j)
von (Cr) parallel zur Xr- Achse in die Koordinatenhyperebene Or x
hat ihrerseits in Po einen Schmiegungsraum Or_2, dessen Richtungen
gegen die Koordinatenachsen Xv X2, au^ die (r — 2)-
reihigen Determinanten der aus (16) durch Streichung der letzten
Zeile und letzten Kolonne entstehenden Matrix führen. Über die Co-
sinusgrenzwerte gilt dabei das entsprechende, wenn man Or_2 zum
Koordinatenraume xr — 0, xr_1 = 0 macht. Projiziert man nun wieder
(ür -i) in OJ._2 ,u. s. f., dann gelangt man zu einem Koordinatensysteme
mit dem Anfangspunkte Po, zu dessen Koordinatenräumen die Tan-
gente von (Cr) in Po gehört, die Schmiegungsebene sowie alle höheren
Schmiegungsräume in Po bis zur Schmiegungshyperebene. Die Ge-
samtheit der Achsen dieses Koordinatensystems bildet das beglei-
tende r-Kant in Po.
Sind nun die <pv (Z) und deren erste (r — 1) Ableitungen in der
Umgebung von ^ = 0 nach steigenden Potenzen von t entwickelbar,
<pv tr ' 14" • • • ; dann folgt aus den Cosinusgrenzwerten,
daß bei der Wahl des begleitenden r-Kantes in Po als
Koordinatensystem zwischen den (ganzzahligen) /z die