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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0021
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven.
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17. Umkehrbare Eindeutigkeit der Darstellung. Ähn-
lich wie in Nr. 4 und 5 ergibt sich hier, gleichgültig, ob Po regulär oder
singulär ist, daß die vermöge VIII zunächst nur in der Richtung
/-Intervall—> Kurvenstück eindeutig vorausgesetzte Darstellung immer
auch in der umgekehrten Richtung eindeutig ist, wenigstens in einem
engeren Intervall um den Nullpunkt, wenn nicht alle /a,v, v = 1,2 ... r
gerade Zahlen sind. In diesem Falle kann die Beziehung Kurven-
stück —■> /-Intervall zweideutig und Po ein Endpunkt eines Kurven-
stückes sein. Daraus folgt die Notwendigkeit der VII analogen Annahme:
XI. Es soll bei lauter geraden tav, v —1,2 ... r, in einer
Umgebung um den Nullpunkt nirgends zu zwei verschie-
denen /-Werten dasselbe Wertesystem q^, cp2 . . . . <pr gehören.
18. Krümmungen in Po. (C,.) hat in jedem regulären oder
singulären Punkt r — 1 Krümmungen. Die (r — l)-te Krümmung —-
in einem Punkte (/) ist in der folgenden Weise definiert, wobei (Cr)
auf irgend ein rechtwinkeliges Koordinatensystem bezogen voraus-
gesetzt ist: sind cos lv, v =1,2 .... r die aus der Matrix (16) ge-
wonnenen Cosinuswerte, dann ist
wobei Dr die r-te (r — l)-reihige Determinante aus (16) bezeichnet,
Drjrx = ist und alle Summationen über v, von 1 bis r zu er-
strecken sind.
Wählt man speziell das begleitende r-Kant in Po als Koordi-
natensystem, dann folgt hieraus, im Anschluß an Nr. 15 durch eine
einfache Rechnung31), daß die positiv genommene (r —l)te
Krümmung in Po den Grenzwert hat
(18)
(^ti—1)1 i —l)!yr^>(0) .
1)! (0)
r — 1
f-1?— j—
rj>332)
31) Bezeichnet man die Determinanten abkürzend durch ihr Diagonalglied,
dann verwendet man hier die Umformungen (1, ^2 — 1, (^3 — 1) (/Ci — 2),
v Q — i
1) 2) . . (jUj, — »’ + l)) = (l, /.t.-i2 . . . 1 ■*■)— TI II (jiq — Pn—ff)-
q = 2 ff = l '
32) Die Formel (19) bei G. E. A. Brunel a. a. 0., die ein spezieller Fall der
hier gebrachten Formel (18) ist, enthält irriger Weise einen Faktor 2 im Zähler.
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17. Umkehrbare Eindeutigkeit der Darstellung. Ähn-
lich wie in Nr. 4 und 5 ergibt sich hier, gleichgültig, ob Po regulär oder
singulär ist, daß die vermöge VIII zunächst nur in der Richtung
/-Intervall—> Kurvenstück eindeutig vorausgesetzte Darstellung immer
auch in der umgekehrten Richtung eindeutig ist, wenigstens in einem
engeren Intervall um den Nullpunkt, wenn nicht alle /a,v, v = 1,2 ... r
gerade Zahlen sind. In diesem Falle kann die Beziehung Kurven-
stück —■> /-Intervall zweideutig und Po ein Endpunkt eines Kurven-
stückes sein. Daraus folgt die Notwendigkeit der VII analogen Annahme:
XI. Es soll bei lauter geraden tav, v —1,2 ... r, in einer
Umgebung um den Nullpunkt nirgends zu zwei verschie-
denen /-Werten dasselbe Wertesystem q^, cp2 . . . . <pr gehören.
18. Krümmungen in Po. (C,.) hat in jedem regulären oder
singulären Punkt r — 1 Krümmungen. Die (r — l)-te Krümmung —-
in einem Punkte (/) ist in der folgenden Weise definiert, wobei (Cr)
auf irgend ein rechtwinkeliges Koordinatensystem bezogen voraus-
gesetzt ist: sind cos lv, v =1,2 .... r die aus der Matrix (16) ge-
wonnenen Cosinuswerte, dann ist
wobei Dr die r-te (r — l)-reihige Determinante aus (16) bezeichnet,
Drjrx = ist und alle Summationen über v, von 1 bis r zu er-
strecken sind.
Wählt man speziell das begleitende r-Kant in Po als Koordi-
natensystem, dann folgt hieraus, im Anschluß an Nr. 15 durch eine
einfache Rechnung31), daß die positiv genommene (r —l)te
Krümmung in Po den Grenzwert hat
(18)
(^ti—1)1 i —l)!yr^>(0) .
1)! (0)
r — 1
f-1?— j—
rj>332)
31) Bezeichnet man die Determinanten abkürzend durch ihr Diagonalglied,
dann verwendet man hier die Umformungen (1, ^2 — 1, (^3 — 1) (/Ci — 2),
v Q — i
1) 2) . . (jUj, — »’ + l)) = (l, /.t.-i2 . . . 1 ■*■)— TI II (jiq — Pn—ff)-
q = 2 ff = l '
32) Die Formel (19) bei G. E. A. Brunel a. a. 0., die ein spezieller Fall der
hier gebrachten Formel (18) ist, enthält irriger Weise einen Faktor 2 im Zähler.