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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0022
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R. BäLDUS:
Die vorletzte, d. h. (r —2)-te, Krümmung von (C’r) in Po erhält
man als die letzte, (r —2)-te, Krümmung der Kurve (Cr_1) von Nr. 14,
indem man in Gl. (18) r durch r—1 ersetzt. Die drittletzte Krüm-
mung von (Cr) ist die vorletzte von (Cr_ J und die letzte von (Cr 2)
u. s. f. In dieser Weise liefert (18) alle r — 1 Krümmungen in Po,
wobei es gleichgültig ist, ob Po regulär oder beliebig singulär ist.
Die zweite Krümmung von (Cz) ist die Torsion der unebenen Raum-
kurve (C3): cp1(t') = x, <Pz(f) = y, <^3 (0 = ^ die erste Krümmung die Krüm-
mung der ebenen Kurve (C2): cpi(t') = %, Es sei bemerkt, daß
zur Entscheidung darüber, ob die (v — l)-te Krümmung von (Cr) in
Po 0, endlich oder co ist nach (18) die Kenntnis der Exponenten //j,
. x und genügt, da für
(19) — J = | 0 lim q =! endlich! ist.
(<J f-> + 0 7'-l ( QO J
Wenn die (v — l)-te Krümmung endlich ist, dann ist ihr Wert durch
das erste Glied in der Entwicklung von cp1(^), (pv_^, cpvQ2) und
durch den ersten Exponenten in <p2(Z), 9^3 (^) • • • • 9V-2(0 bestimmt.
Gl. (9) ist der spezielle Fall von (18) 'für r — 2.
19. Klassifikation der singulären Punkte. Genau
wie in Nr. 6 lassen sich nun die singulären Punkte, /zx)>l,
klassifizieren: dies liefert beispielsweise für die unebenen Kurven des
dreidimensionalen Raumes die bekannten 8 Typen33) [2,2,2], [1,2,2],.
Fällen nur 0 oder oo.
Bei der (Cr) treten 2r Arten singulärer Punkte auf, wenn man
die Krümmungen nicht in Betracht zieht, bei Berücksichtigung irgend
einer der Krümmungen 5 • 2?,~1 Typen; unterscheidet man nach irgend
3S) Die Reihenfolge stimmt mit der bei R. v. Lilienthal a. a. 0., S. 256
angegebenen überein. Dabei liefert v2 —f.i2 —f-ti, v3 — /bt3—u2 den Zu¬
sammenhang zwischen den dort und hier gewählten Bezeichnungen. Die den
Gin. (19) und (18) entsprechenden Ergebnisse für die zweite Krümmung im Falle
r — 8 finden sich dort auf S. 251. Die gestaltlichen Verhältnisse dieser 8 Fälle
hat schon Chr. v. Staudt a. a. 0., S. 113, Nr. 205 behandelt, wobei aber, ent-
sprechend den hier bei Nr. 3 und 6 gemachten Anmerkungen, die „gewöhn-
lichen“ Punkte nicht mit den regulären Punkten der hier durchgeführten Be-
trachtungen gleichbedeutend sind.
R. BäLDUS:
Die vorletzte, d. h. (r —2)-te, Krümmung von (C’r) in Po erhält
man als die letzte, (r —2)-te, Krümmung der Kurve (Cr_1) von Nr. 14,
indem man in Gl. (18) r durch r—1 ersetzt. Die drittletzte Krüm-
mung von (Cr) ist die vorletzte von (Cr_ J und die letzte von (Cr 2)
u. s. f. In dieser Weise liefert (18) alle r — 1 Krümmungen in Po,
wobei es gleichgültig ist, ob Po regulär oder beliebig singulär ist.
Die zweite Krümmung von (Cz) ist die Torsion der unebenen Raum-
kurve (C3): cp1(t') = x, <Pz(f) = y, <^3 (0 = ^ die erste Krümmung die Krüm-
mung der ebenen Kurve (C2): cpi(t') = %, Es sei bemerkt, daß
zur Entscheidung darüber, ob die (v — l)-te Krümmung von (Cr) in
Po 0, endlich oder co ist nach (18) die Kenntnis der Exponenten //j,
. x und genügt, da für
(19) — J = | 0 lim q =! endlich! ist.
(<J f-> + 0 7'-l ( QO J
Wenn die (v — l)-te Krümmung endlich ist, dann ist ihr Wert durch
das erste Glied in der Entwicklung von cp1(^), (pv_^, cpvQ2) und
durch den ersten Exponenten in <p2(Z), 9^3 (^) • • • • 9V-2(0 bestimmt.
Gl. (9) ist der spezielle Fall von (18) 'für r — 2.
19. Klassifikation der singulären Punkte. Genau
wie in Nr. 6 lassen sich nun die singulären Punkte, /zx)>l,
klassifizieren: dies liefert beispielsweise für die unebenen Kurven des
dreidimensionalen Raumes die bekannten 8 Typen33) [2,2,2], [1,2,2],.
Fällen nur 0 oder oo.
Bei der (Cr) treten 2r Arten singulärer Punkte auf, wenn man
die Krümmungen nicht in Betracht zieht, bei Berücksichtigung irgend
einer der Krümmungen 5 • 2?,~1 Typen; unterscheidet man nach irgend
3S) Die Reihenfolge stimmt mit der bei R. v. Lilienthal a. a. 0., S. 256
angegebenen überein. Dabei liefert v2 —f.i2 —f-ti, v3 — /bt3—u2 den Zu¬
sammenhang zwischen den dort und hier gewählten Bezeichnungen. Die den
Gin. (19) und (18) entsprechenden Ergebnisse für die zweite Krümmung im Falle
r — 8 finden sich dort auf S. 251. Die gestaltlichen Verhältnisse dieser 8 Fälle
hat schon Chr. v. Staudt a. a. 0., S. 113, Nr. 205 behandelt, wobei aber, ent-
sprechend den hier bei Nr. 3 und 6 gemachten Anmerkungen, die „gewöhn-
lichen“ Punkte nicht mit den regulären Punkten der hier durchgeführten Be-
trachtungen gleichbedeutend sind.