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https://doi.org/10.11588/diglit.43564#0023
Über die singulären Punkte reeller Parameterkurven. 23
v Krürrimuugen; dann erhält man ö’7 • 2r~v Fälle, folglich bei Heran-
ziehung sämtlicher Krümmungen 2 • 5r_1 Arten singulärer Punkte.
Gl. (18) liefert in allen Fällen die zugehörigen Koeffizientenbeziehungen.
20. Parametersingularitäten. Liegt in Po eine Parameter-
singularität für (Cr) vor, dann gelten nach den Gin. (17) die in Nr. 7
und 8 für die Funktionen cp und % durchgeführten Betrachtungen
hier für die r—1 Funktionenpaare (<5PX, cp^, v—2,3 . . . r.
Zunächst kann es sich nur dann um eine Parametersingularität
handeln, wenn jedes dieser Paare eine ebene Kurve darstellt, die in
der Umgebung des Nullpunktes zum Typus [1,2] 5, [1, 2] c oder [1,1] c
von Nr. 6 gehört. Weiterhin erhält man die für eine Parametersingu-
larität notwendigen und hinreichenden Bedingungen
a) pii muß ungerade ^>2 sein, während alle übrigen ptr
ganzzahlige Vielfache piv = • pv von /zx sind, v — 2, 3 . . . r
b) Setzt man cpv (£) = gv (r), v = 2, 3 . . . r, dann
muß es ein abgeschlossenes r-Intervall um den Null-
punkt geben, in dem alle Ableitungen +(t) be¬
schränkt sind.
Verengert man die Voraussetzungen ähnlich wie in Nr. 9 etwas —
indem man nämlich über VIII hinausgehend von den <pv (f), v = 2,3 ... r
die Existenz der (^x + piv~) ersten Ableitungen fordert und bei jeder
Funktion die letzte von diesen beschränkt voraussetzt — dann kann
man die Bedingung b) durch ein System von höchstens (r — 1) Glei-
chungen zwischen den Werten <px(i)(0) und ersetzen, wobei i =
/h +1, 2 pi1 ist, während j die Werte ptv, piv-[-l ... . ptv-[-pi1 — 1
durchläuft.
21. Beliebige rechtwinkelige Koordinatensysteme.
Die vorstehenden Betrachtungen der Umgebung eines Kurvenpunktes
Po setzen als Koordinatensystem das begleitende r-Kant in Po voraus;
deshalb möge zum Schlüsse noch eine Bemerkung über den Übergang
von einem beliebigen rechtwinkeligen Koordinatensystem auf das be-
gleitende r-Kant in Po Platz finden:
Sind (pv=: -L + 1 _|_ . . , , bv^0 die Entwick¬
lungen nach steigenden Potenzen von t, dann möge zunächst die Reihen-
folge der Koordinatenachsen so gewählt werden, daß die der
Größe nach geordnet sind.
v Krürrimuugen; dann erhält man ö’7 • 2r~v Fälle, folglich bei Heran-
ziehung sämtlicher Krümmungen 2 • 5r_1 Arten singulärer Punkte.
Gl. (18) liefert in allen Fällen die zugehörigen Koeffizientenbeziehungen.
20. Parametersingularitäten. Liegt in Po eine Parameter-
singularität für (Cr) vor, dann gelten nach den Gin. (17) die in Nr. 7
und 8 für die Funktionen cp und % durchgeführten Betrachtungen
hier für die r—1 Funktionenpaare (<5PX, cp^, v—2,3 . . . r.
Zunächst kann es sich nur dann um eine Parametersingularität
handeln, wenn jedes dieser Paare eine ebene Kurve darstellt, die in
der Umgebung des Nullpunktes zum Typus [1,2] 5, [1, 2] c oder [1,1] c
von Nr. 6 gehört. Weiterhin erhält man die für eine Parametersingu-
larität notwendigen und hinreichenden Bedingungen
a) pii muß ungerade ^>2 sein, während alle übrigen ptr
ganzzahlige Vielfache piv = • pv von /zx sind, v — 2, 3 . . . r
b) Setzt man cpv (£) = gv (r), v = 2, 3 . . . r, dann
muß es ein abgeschlossenes r-Intervall um den Null-
punkt geben, in dem alle Ableitungen +(t) be¬
schränkt sind.
Verengert man die Voraussetzungen ähnlich wie in Nr. 9 etwas —
indem man nämlich über VIII hinausgehend von den <pv (f), v = 2,3 ... r
die Existenz der (^x + piv~) ersten Ableitungen fordert und bei jeder
Funktion die letzte von diesen beschränkt voraussetzt — dann kann
man die Bedingung b) durch ein System von höchstens (r — 1) Glei-
chungen zwischen den Werten <px(i)(0) und ersetzen, wobei i =
/h +1, 2 pi1 ist, während j die Werte ptv, piv-[-l ... . ptv-[-pi1 — 1
durchläuft.
21. Beliebige rechtwinkelige Koordinatensysteme.
Die vorstehenden Betrachtungen der Umgebung eines Kurvenpunktes
Po setzen als Koordinatensystem das begleitende r-Kant in Po voraus;
deshalb möge zum Schlüsse noch eine Bemerkung über den Übergang
von einem beliebigen rechtwinkeligen Koordinatensystem auf das be-
gleitende r-Kant in Po Platz finden:
Sind (pv=: -L + 1 _|_ . . , , bv^0 die Entwick¬
lungen nach steigenden Potenzen von t, dann möge zunächst die Reihen-
folge der Koordinatenachsen so gewählt werden, daß die der
Größe nach geordnet sind.