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https://doi.org/10.11588/diglit.43566#0003
Die Lie’sche Cyklide und die Inversionskrümmung.
Als Geleitwort ist den folgenden Darlegungen eine Bemerkung
von Lie (1882) voranzuschicken 1:
„Laß mich jedoch ausdrücklich auf diejenige DuPiNsche Cyklide
aufmerksam machen, die einem jeden Punkte einer Fläche in unzwei-
deutiger Weise zugeordnet ist, ob sie gleich in zwei Weisen durch
Krümmungslinien definiert ist.“
Sie ist ein Gegenstück zu der vielbesprochenen LlEschen F2 und
ist mit den Krümmungslinien verknüpft, wie die F2 mit den Haupt-
tangentenkurven, kann aus ihr durch die Geraden-Kugel-Transforma-
tion gewonnen werden.
Indessen wurde in § 1 eine unmittelbare Methode bevorzugt. Es
wird in Nr. 1 gezeigt, daß drei unendlich benachbarte Kugeln in
Ebenen übergeführt werden können durch Inversion, Nr. 2 gibt die
Anwendung auf Krümmungskugeln, und dadurch ist in Nr. 3 die nor-
mierte Behandlung des Problems, wo die Cyklide zum Drehkegel
wird, leicht erreichbar; Nr. 4 gibt ein einfaches Beispiel.
In § 2 wird, von der konformen Gruppe der Kreise der Ebene
(Nr. 1) und ihrer Erweiterung (Nr. 2) ausgehend, die wichtige „Inver-
sionskrümmung“ (Formel 8 und 9) bestimmt und dieser an einer Kreis-
schar der Ebene gewonnene Begriff auf Kugelscharen übertragen (Nr. 3).
§ 3 führt dann zum Begriff der Inversionskrümmung oder Kon-
formkrümmung für Flächen. Es werden zwei Invarianten J\ und J2
bestimmt (Gleichung 10 und 11), deren Summe gleich 1 ist (Nr. 1).
In Nr. 2 folgen Beispiele (Torsen, Minimalflächen) und in Nr. 3 wird
eine Reihe Aufgaben genannt, auch die Konstruktion der LlEschen
Cyklide in einem besonderen Fall bei der Schraubenfläche durchgeführt.
Die wichtigste Literatur über Anwendung der Inversion auf die
Flächentheorie umfaßt die Arbeiten:
A. Tresse, Sur les invariants difförentiels des groupes continus
de transformations. Acta math. 18 (1894), 1—88.
G. Fubini, Sulla teoria degli spazii ehe ammettono un gruppo
conforme. Torino Atti 38 (1903), 404—418.
x) Siehe Lie, Gesammelte Abhandlungen III (1922), 541.
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Als Geleitwort ist den folgenden Darlegungen eine Bemerkung
von Lie (1882) voranzuschicken 1:
„Laß mich jedoch ausdrücklich auf diejenige DuPiNsche Cyklide
aufmerksam machen, die einem jeden Punkte einer Fläche in unzwei-
deutiger Weise zugeordnet ist, ob sie gleich in zwei Weisen durch
Krümmungslinien definiert ist.“
Sie ist ein Gegenstück zu der vielbesprochenen LlEschen F2 und
ist mit den Krümmungslinien verknüpft, wie die F2 mit den Haupt-
tangentenkurven, kann aus ihr durch die Geraden-Kugel-Transforma-
tion gewonnen werden.
Indessen wurde in § 1 eine unmittelbare Methode bevorzugt. Es
wird in Nr. 1 gezeigt, daß drei unendlich benachbarte Kugeln in
Ebenen übergeführt werden können durch Inversion, Nr. 2 gibt die
Anwendung auf Krümmungskugeln, und dadurch ist in Nr. 3 die nor-
mierte Behandlung des Problems, wo die Cyklide zum Drehkegel
wird, leicht erreichbar; Nr. 4 gibt ein einfaches Beispiel.
In § 2 wird, von der konformen Gruppe der Kreise der Ebene
(Nr. 1) und ihrer Erweiterung (Nr. 2) ausgehend, die wichtige „Inver-
sionskrümmung“ (Formel 8 und 9) bestimmt und dieser an einer Kreis-
schar der Ebene gewonnene Begriff auf Kugelscharen übertragen (Nr. 3).
§ 3 führt dann zum Begriff der Inversionskrümmung oder Kon-
formkrümmung für Flächen. Es werden zwei Invarianten J\ und J2
bestimmt (Gleichung 10 und 11), deren Summe gleich 1 ist (Nr. 1).
In Nr. 2 folgen Beispiele (Torsen, Minimalflächen) und in Nr. 3 wird
eine Reihe Aufgaben genannt, auch die Konstruktion der LlEschen
Cyklide in einem besonderen Fall bei der Schraubenfläche durchgeführt.
Die wichtigste Literatur über Anwendung der Inversion auf die
Flächentheorie umfaßt die Arbeiten:
A. Tresse, Sur les invariants difförentiels des groupes continus
de transformations. Acta math. 18 (1894), 1—88.
G. Fubini, Sulla teoria degli spazii ehe ammettono un gruppo
conforme. Torino Atti 38 (1903), 404—418.
x) Siehe Lie, Gesammelte Abhandlungen III (1922), 541.
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