Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die LiEsche Cyklide und die Inversionskrümmung. 13
hierbei unter a b c die Mittelpunktskoordinaten, unter r den Kugel-
radius verstanden, so gelangt man zu genau derselben ersten Inva-
riante, nur sind die Differentialquotienten von c mit einzubeziehen.
Zu bemerken ist, daß hier die sechs linearen partiellen Differential-
gleichungen zur Bestimmung der aus neun Größen gebildeten Inva-
riante führen.
Die Kugeln hüllen eine Kanalfläche ein, die Invariante ist dem-
gemäß als Inversionskrümmung einer Kanalfläche zu be-
zeichnen.
Für Röhrenflächen, also Flächen mit konstantem r, erhält man
J=r2 q 2,
also ist die Inversionskrümmung einer Röhrenfläche gleich dem Qua-
drat des Produktes von Kugelradius und Achsenkrümmung.
Der Kreisring (Torus) kann durch die Kugelschar
\KV) a=lccos <p, b — ksvncp, c = o, r=l
erzeugt werden, wobei der Index p auf das Wort „Parallelkreis“ hin-
deutet (die erzeugenden Punkte beschreiben Parallelkreise) oder „meri-
dional“ durch die Kugelschar
(Km) a = b = o, c = lüsht, r — l-^kcht.
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Im ersten Fall erhält man die Invariante
Jp = £2 £-2
im zweiten Fall
also auch die K,ra-schar hat eine konstante Invariante, und die
Summe der Invarianten ist gleich Eins. —
Sodann betrachten wir den Drehkegel mit dem halben Öffnungs-
winkel a als Erzeugnis der Kugelschar
g=A = o, r — c sin g
und erhalten
= tang2 a. .
Er ist auch Ilüllfläche seiner Tangentialebenen, und wir können
dieser ausgearteten Kugelschar auch ein J zuordnen, weil nämlich der
Kegel durch Inversion aus einem Torus entsteht und J bei Inver-
sionen invariant bleibt, so ist die Festsetzung zu treffen:
Die Ebenenschar
u x + v y+wz = 0,
w2cos2 g — (u2 + v2)sin2a = 0

hat die Invariante

J2 = 1 ~ 'A = 1: cos2 a;