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https://doi.org/10.11588/diglit.43566#0014
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Heinrich Liebmann:
Jg kann selbstverständlich auch durch Grenzübergang gefunden wer-
den, wenn man nämlich in Jv einsetzt
k~l cos a
und dann k unbeschränkt wachsen läßt. —
Schließlich sei auf eine Übungsaufgabe hingewiesen, deren Durch-
führung als nützliche Rechnung bezeichnet werden darf: „Man verlege
die beiden Kugelscharen KP und Km, so daß sie gegeben sind durch
(K'p) (i — q-{-kcos(p, b = ksin cp, c=o, r = l,
(K'm') a = <l, b — o, c — ksht, r=l-{-kcht.
Die allgemeinste DuPiNsclie Cyklide erhält man hieraus, wenn
man die Inversion vom Ursprung aus die sphärische Spiegelung an
der Kugel
hinzufügt, wobei die a, b, c, r sich nach der Formel transformieren
p = a2 + b2 + c2 — r2.
Die Rechnung muß sicher auf die Werte führen
§ 3. Die Inversionskrümmung einer allgemeinen Fläche.
1. Um hieraus Folgerungen für die Flächentheorie zu ziehen,
führt man als Parameterkurven die Krümmungslinien ein nach der
Tafel XIX von Scheffers (Differentialgeometrie II), nur mit der
Abwandlung, daß für das Bogenelement geschrieben wird
ds2 = e2 du2 + </2 dv2,
also gesetzt wird
E=e2, Gr—g2.
Zu berechnen ist die Invariante
(6) T-(U+F)2U“3-JU-U 2
und zwar einmal längs der Krümmungslinie v — vQ für die Krümmungs-
kugeln /v2, dann längs der Krümmungslinie w — w0 für die Krümmungs-
kugeln Kr
Als Bestätigung des LlEschen Satzes muß sich dann zwischen
den beiden Invarianten die Beziehung- ergeben
o o
+ e7^ = 1 •
Welche der beiden Invarianten dann dem Jp, welche dem
der LiEschenCyklide des Flächenpunktes entspricht, ist nachträg-
lich zu entscheiden.
Heinrich Liebmann:
Jg kann selbstverständlich auch durch Grenzübergang gefunden wer-
den, wenn man nämlich in Jv einsetzt
k~l cos a
und dann k unbeschränkt wachsen läßt. —
Schließlich sei auf eine Übungsaufgabe hingewiesen, deren Durch-
führung als nützliche Rechnung bezeichnet werden darf: „Man verlege
die beiden Kugelscharen KP und Km, so daß sie gegeben sind durch
(K'p) (i — q-{-kcos(p, b = ksin cp, c=o, r = l,
(K'm') a = <l, b — o, c — ksht, r=l-{-kcht.
Die allgemeinste DuPiNsclie Cyklide erhält man hieraus, wenn
man die Inversion vom Ursprung aus die sphärische Spiegelung an
der Kugel
hinzufügt, wobei die a, b, c, r sich nach der Formel transformieren
p = a2 + b2 + c2 — r2.
Die Rechnung muß sicher auf die Werte führen
§ 3. Die Inversionskrümmung einer allgemeinen Fläche.
1. Um hieraus Folgerungen für die Flächentheorie zu ziehen,
führt man als Parameterkurven die Krümmungslinien ein nach der
Tafel XIX von Scheffers (Differentialgeometrie II), nur mit der
Abwandlung, daß für das Bogenelement geschrieben wird
ds2 = e2 du2 + </2 dv2,
also gesetzt wird
E=e2, Gr—g2.
Zu berechnen ist die Invariante
(6) T-(U+F)2U“3-JU-U 2
und zwar einmal längs der Krümmungslinie v — vQ für die Krümmungs-
kugeln /v2, dann längs der Krümmungslinie w — w0 für die Krümmungs-
kugeln Kr
Als Bestätigung des LlEschen Satzes muß sich dann zwischen
den beiden Invarianten die Beziehung- ergeben
o o
+ e7^ = 1 •
Welche der beiden Invarianten dann dem Jp, welche dem
der LiEschenCyklide des Flächenpunktes entspricht, ist nachträg-
lich zu entscheiden.