Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die LiEsche Cyklide und die Inversionskrümmung.

17


/V —

Ä = g (ü — w) D.

Dabei ist

a
a
Cb
D=
1/
b"
b"'
1
ro
\
c
ff
c
fff
c

r der Torsionsradius. Es wird dann

1 _g3Z> 1
Ry v — u’ R1

(13)

Die (erste) Inversionskrümmung der Torsen (nach
den nicht geraden K r ii m m u n g s 1 i n i e n genommen) ist also
gleich dem Quadrat des Quotienten von T o r s i o n s- und
Krümmungsradius.
Längs einer Erzeugenden ist J-^ konstant und selbstverständlich
der rQ des Drehkegels gleich, der von drei unendlich benachbarten
Schmiegungsebeneu umhüllt wird. Dieser Kegel vertritt hier die LiE-
sche Cyklide (vgl. die Bemerkung am Schluß von § 1).
Konstante, d. h. also für alle Flächenpunkte gleiche Inversions-
krümmung besitzen also außer den DuPiNschen Cykliden auch die Torsen,
für deren Rückkehrkanten das Verhältnis von Krümmung und Torsion
konstant ist. Ausartungen dieser Flächenklasse sind die Drehkegel. —
Unter den Flächen mit konstantem T sind die Flächenklassen

<W2 = 0
und ^ = ^==1
besonders hervorzuheben. Es sollen hier noch Minimalflächen
berechnet werden.
Führt man die (isothermen) Krümmungslinien ein, setzt demgemäß
ds2 = w2(u, v) (dzU + dv2)
und beachtet, daß hier wird
R1 = c 1 w2, R2 = — c -’w2,
so erhält man
<J1=|(l + c 2(2 wwu+w22 —3 ?px2)}
^2= 4 (1 Tc “2 (2 tv w22-\-u.-— 3 w22))
und hieraus

(14) 2 wwxx-|-w22 — 3w12 = 2ww22-j-wx2—3w22=2e2.