Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Lissche Cyklide uncl die Inversionskriimmung.

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Für die Punkte der Schraubenachse der Fläche
# = c a/rctg
kann die LlEsche Cyklide fast ohne Rechnung bestimmt werden. Die
und R2 sind hier c und —c, außerdem erreichen die Größen ihren
kleinsten Wert in der Achse; endlich ist = wie wir wissen.
Für solche Cykliden darf die Bezeichnung „gleichseitig“ ge-
wählt werden. Bringt man sie nämlich in Torusform, so geht durch
den Mittelpunkt ein Berührungskegel, dessen Mantellinien mit der
Achse den Winkel Ä einschließen, wie beim Asymptotenkegel der
gleichseitigen Hyperbel.
Ein solcher „gleichseitiger Ring“ ist dann noch einer geeigneten
Inversion zu unterwerfen. Als Berührungsstellen mit der Schrauben-
fläche kommen nur die vier Scheitelpunkte in Betracht, weil nur dort
Bx und B2 beide stationär sind. Endlich müssen R1 und P2 dem
absoluten Betrag nach gleich werden.
Die Aufgabe ist also in der folgenden Weise zu lösen als zwei-
dimensionales Problem. In der xs- Ebene muß der Inversionspunkt 0
und der Radius q des Inversionskreises so gewählt werden, daß nach
Inversion die Bilder der auf der rr-Achse gelegenen Punkte
A) xr — q
P) x^= qA-2(k—T) q-\-2l (K 2 — 1)
B) x3 = q + 2 (k — l) -\-2l= q-\-2l V2
gleichen Abstand haben (B' P' — P' A”).
Dies führt auf die Gleichung
g2 g2 _ L g2 c/
q + 2l]P2 q+2l(]/'2 — l) q + 2lCK2-l)
und gibt <7 = 21.
Der Inversionspunkt 0 ist also auf dem (äußeren) Äquator
(^2 + ?/2 = (^ + 7v)2) des gleichseitigen Ringes zu wählen. Der dem
Punkt P des inneren Ringäquators entsprechende Punkt (Scheitel-
punkt) P' der entstehenden gleichseitigen Cyklide ist dann die Stelle,
mit der sie der Schraubenfläche einzufügen ist; der äußere Äquator
ist in eine Gerade verwandelt.
Endlich muß noch die Strecke l entsprechend gewählt werden,’
d. h. es muß

K21 -! tW-Ä“Ä(F2 -1}“(2 - v 2)
gleich c gewählt werden, oder