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https://doi.org/10.11588/diglit.43567#0011
Über Gleichungen ohne Affekt.
11
Nun folgt aber clie Irreduzibilität von f (x) im Körper der ratio-
nalen Zahlen sogleich aus Hilfssatz 1 mit p— px. Wir dürfen daher
annehmen, daß die Irreduzibilität der 2 ersten unter den Polynomen
(8) bereits erkannt sei, und wollen dann auch die Irreduzibilität des
(2 + l)ten, also des Polynoms
fX ff- i (-G Ö i? * •’ •?. öz)
im Körper ^(px, . . ., p^) beweisen. Machen wir zu dem Zweck
die Hypothese des Gegenteils, so gilt eine Zerlegung der Form
(9) {x, px, . . ., pA) = (^ + • • • ) • • • ),
wobei rechts die Koeffizienten der geringeren Potenzen von x Zahlen
des Körpers $ (px, . . ., p;L) sind, die wir daher als Polynome von
öi» • • Ö2 rationalen (nicht notwendig ganzen) Koeffizienten
schreiben können. Dadurch erhält die Formel (9) die Gestalt
(9a) /)iff-i(^ öi’ • • •’ Ö2) = V(^’ Öi’ • • •’ Öz)-a>Cü Öi’ • • •’ Ö2)-
Wenn man hier statt oy, eine Variable setzt, so besagt diese
Gleichung, daß das Polynom
(10) /’^ff-iG*', öi’ • • •’ Ö2 -i’ Vl)
Öi’ • • • ’ Ö2-1’ 2/2)-"^’ Öi? • • • ’ Ö2-i’ Vl)
für y^ — o^ verschwindet. Da aber y=Qx eine Wurzel der im Kör-
per $(px, . . ., o^-i) schon als irreduzibel erkannten Gleichung
öi’ • • •’ ÖA-i) = O ist, so muß das Polynom (10) durch /j*(Z/2’
öi’ • • •’ Ö2-1) teilbar sein, oder, weil ja /)_ eine symmetrische
Funktion ist, durch (Pi, . . ., p^-i, Somit besteht eine Iden¬
tität der Form
Aff-i^’Öi’•••’ ÖÄ-i’2/2) —V(^’Öi’•••’ÖA-i’^)-"^’ Öi’---’ Ö2 -1’2/2)
= /z(öi’ •••’ Ö2-1’ 2/a)-Zä(^’ Öi’ • • •’ Ö2-1, 2/z),
wo auch £2 rationale Koeffizienten hat und in x von geringerem Grad
als /2ff-i ist, also höchstens vom Grad n —2 —1.
Bringt man in der letzten Formel die rechte Seite nach links
und setzt dann statt p^_x wieder eine Variable x, so erkennt man
ebenso, daß das entstehende Polynom durch — i(öi’ • • •> 02-2,2/2-1)
teilbar sein muß. Durch Fortsetzung dieses Prozesses erhält man
schließlich eine Identität der Form:
/2 ff-1 2/i, • •2/2) = 2/1, • • •’ 2/2) ‘ w 2/1, • • 2/2)
+ /r2(2/i’ • • •’ 2/2) • Z2 2/1, • • 2/2)
W/2-1 (2/1, • ■ 2/2-1) ’ Z2-i Gü 2/1, • • •’ 2/2) + • • •
w ?2 (i/i’ 2/2)' Z 2 (^’ 2/1, • • •’ 2/2) / (2/1) ■ Z1 (-^’ 2/i’ - • 2//.) ’
wobei die Polynome / rationale Koeffizienten haben und in x hoch-
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Nun folgt aber clie Irreduzibilität von f (x) im Körper der ratio-
nalen Zahlen sogleich aus Hilfssatz 1 mit p— px. Wir dürfen daher
annehmen, daß die Irreduzibilität der 2 ersten unter den Polynomen
(8) bereits erkannt sei, und wollen dann auch die Irreduzibilität des
(2 + l)ten, also des Polynoms
fX ff- i (-G Ö i? * •’ •?. öz)
im Körper ^(px, . . ., p^) beweisen. Machen wir zu dem Zweck
die Hypothese des Gegenteils, so gilt eine Zerlegung der Form
(9) {x, px, . . ., pA) = (^ + • • • ) • • • ),
wobei rechts die Koeffizienten der geringeren Potenzen von x Zahlen
des Körpers $ (px, . . ., p;L) sind, die wir daher als Polynome von
öi» • • Ö2 rationalen (nicht notwendig ganzen) Koeffizienten
schreiben können. Dadurch erhält die Formel (9) die Gestalt
(9a) /)iff-i(^ öi’ • • •’ Ö2) = V(^’ Öi’ • • •’ Öz)-a>Cü Öi’ • • •’ Ö2)-
Wenn man hier statt oy, eine Variable setzt, so besagt diese
Gleichung, daß das Polynom
(10) /’^ff-iG*', öi’ • • •’ Ö2 -i’ Vl)
Öi’ • • • ’ Ö2-1’ 2/2)-"^’ Öi? • • • ’ Ö2-i’ Vl)
für y^ — o^ verschwindet. Da aber y=Qx eine Wurzel der im Kör-
per $(px, . . ., o^-i) schon als irreduzibel erkannten Gleichung
öi’ • • •’ ÖA-i) = O ist, so muß das Polynom (10) durch /j*(Z/2’
öi’ • • •’ Ö2-1) teilbar sein, oder, weil ja /)_ eine symmetrische
Funktion ist, durch (Pi, . . ., p^-i, Somit besteht eine Iden¬
tität der Form
Aff-i^’Öi’•••’ ÖÄ-i’2/2) —V(^’Öi’•••’ÖA-i’^)-"^’ Öi’---’ Ö2 -1’2/2)
= /z(öi’ •••’ Ö2-1’ 2/a)-Zä(^’ Öi’ • • •’ Ö2-1, 2/z),
wo auch £2 rationale Koeffizienten hat und in x von geringerem Grad
als /2ff-i ist, also höchstens vom Grad n —2 —1.
Bringt man in der letzten Formel die rechte Seite nach links
und setzt dann statt p^_x wieder eine Variable x, so erkennt man
ebenso, daß das entstehende Polynom durch — i(öi’ • • •> 02-2,2/2-1)
teilbar sein muß. Durch Fortsetzung dieses Prozesses erhält man
schließlich eine Identität der Form:
/2 ff-1 2/i, • •2/2) = 2/1, • • •’ 2/2) ‘ w 2/1, • • 2/2)
+ /r2(2/i’ • • •’ 2/2) • Z2 2/1, • • 2/2)
W/2-1 (2/1, • ■ 2/2-1) ’ Z2-i Gü 2/1, • • •’ 2/2) + • • •
w ?2 (i/i’ 2/2)' Z 2 (^’ 2/1, • • •’ 2/2) / (2/1) ■ Z1 (-^’ 2/i’ - • 2//.) ’
wobei die Polynome / rationale Koeffizienten haben und in x hoch-