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https://doi.org/10.11588/diglit.43567#0003
Über Gleichungen ohne Affekt.
§ 1-
Historische Einleitung.
Daß es im natürlichen Rationalitätsbereich Gleichungen beliebigen
Grades gibt, die keinen Affekt haben, d. h. deren Gruppe die symme-
trische ist, hat zuerst Herr Hilbert mit Hilfe seines Irreduzibilitäts-
satzes bewiesen.1) Jedoch sind zum Beweis dieses Satzes wesentlich
funktionentheoretische Hilfsmittel erforderlich, die der Algebra fern
liegen, und außerdem wird durch die HiLBERTsche Methode lediglich
die Existenz affektloser Gleichungen bewiesen, ohne ein Mittel an
die Hand zu geben, solche Gleichungen wirklich aufzustellen. Durch
viel einfachere Überlegungen hat dann Heinr. Weber ein Mittel ge-
funden, wenigstens für jeden Primzahlgrad affektlose Gleichungen
wirklich anzugeben.2) Er geht dabei von der durch gruppentheore-
tische Überlegungen nicht allzuschwer beweisbaren Tatsache aus, daß
eine irreduzible Gleichung von Primzahlgrad, wenn sie genau ein
Paar konjugiert-komplexer Wurzeln hat, sicher die symmetrische
Gruppe besitzt.
Für einen beliebigen Grad hat zuerst Herr Michael Bauer das
Problem gelöst3) und sogar zwei verschiedene Methoden angegeben.
Er setzt aber dabei außer einigen Kenntnissen aus der Gruppentheorie
auch eine ziemlich tiefe Vertrautheit mit der Idealtheorie voraus;
dafür haben seine beiden Verfahren den Vorteil, daß sie nicht nur
für den natürlichen Rationalitätsbereich, sondern für einen beliebigen
algebraischen Zahlkörper anwendbar sind. Herr J. Schur hat an die
zweite BAUERsche Arbeit anknüpfend dessen Verfahren vereinfacht4),
wobei es ihm insbesondere gelungen ist, in der Beweisführung die
Idealtheorie zu vermeiden. Immerhin scheint mir auch dieser Beweis
x) D. Hilbert, Über die Irreducibilität ganzer rationaler Funktionen mit
ganzzahligen Coefficienten. Journal f. d. reine u. angew. Mathematik 110 (1892).
2) H. Weber. Lehrbuch der Algebra I (1895), § 178. Zweite Aufl. § 186.
3) M. Bauer, Über Gleichungen ohne Affekt. Journal f.d. reine u. angew. Mathe-
matik 132 (1907). — Ganzzahlige Gleichungen ohne Affekt. Math. Annalen 64 (1907).
4) J. Schur, Beispiele für Gleichungen ohne Affekt. Jahresber. d. deutsch.
Mathematikervereinigung 29 (1920).
1*
§ 1-
Historische Einleitung.
Daß es im natürlichen Rationalitätsbereich Gleichungen beliebigen
Grades gibt, die keinen Affekt haben, d. h. deren Gruppe die symme-
trische ist, hat zuerst Herr Hilbert mit Hilfe seines Irreduzibilitäts-
satzes bewiesen.1) Jedoch sind zum Beweis dieses Satzes wesentlich
funktionentheoretische Hilfsmittel erforderlich, die der Algebra fern
liegen, und außerdem wird durch die HiLBERTsche Methode lediglich
die Existenz affektloser Gleichungen bewiesen, ohne ein Mittel an
die Hand zu geben, solche Gleichungen wirklich aufzustellen. Durch
viel einfachere Überlegungen hat dann Heinr. Weber ein Mittel ge-
funden, wenigstens für jeden Primzahlgrad affektlose Gleichungen
wirklich anzugeben.2) Er geht dabei von der durch gruppentheore-
tische Überlegungen nicht allzuschwer beweisbaren Tatsache aus, daß
eine irreduzible Gleichung von Primzahlgrad, wenn sie genau ein
Paar konjugiert-komplexer Wurzeln hat, sicher die symmetrische
Gruppe besitzt.
Für einen beliebigen Grad hat zuerst Herr Michael Bauer das
Problem gelöst3) und sogar zwei verschiedene Methoden angegeben.
Er setzt aber dabei außer einigen Kenntnissen aus der Gruppentheorie
auch eine ziemlich tiefe Vertrautheit mit der Idealtheorie voraus;
dafür haben seine beiden Verfahren den Vorteil, daß sie nicht nur
für den natürlichen Rationalitätsbereich, sondern für einen beliebigen
algebraischen Zahlkörper anwendbar sind. Herr J. Schur hat an die
zweite BAUERsche Arbeit anknüpfend dessen Verfahren vereinfacht4),
wobei es ihm insbesondere gelungen ist, in der Beweisführung die
Idealtheorie zu vermeiden. Immerhin scheint mir auch dieser Beweis
x) D. Hilbert, Über die Irreducibilität ganzer rationaler Funktionen mit
ganzzahligen Coefficienten. Journal f. d. reine u. angew. Mathematik 110 (1892).
2) H. Weber. Lehrbuch der Algebra I (1895), § 178. Zweite Aufl. § 186.
3) M. Bauer, Über Gleichungen ohne Affekt. Journal f.d. reine u. angew. Mathe-
matik 132 (1907). — Ganzzahlige Gleichungen ohne Affekt. Math. Annalen 64 (1907).
4) J. Schur, Beispiele für Gleichungen ohne Affekt. Jahresber. d. deutsch.
Mathematikervereinigung 29 (1920).
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