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https://doi.org/10.11588/diglit.43567#0004
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0. Perron:
nicht ganz elementar. Noch einfacher ist ein Verfahren, das neuer-
dings Herr Furtwängler angegeben hat.1) Schur und Furt-
wängler kommen beide auf den WEBERschen Gedanken zurück,
daß sie Gleichungen bilden mit genau einem Paar konjugiert-kom-
plexer Wurzeln, wodurch erzwungen wird, daß die Gruppe eine
Transposition enthält. Deshalb besteht bei diesen Überlegungen (im
Gegensatz zu M. Bauer) nicht die Möglichkeit, sie auf beliebige
algebraische Zahlkörper zu übertragen.
' Obwohl hiernach das Problem, affektlose Gleichungen beliebigeu
Grades anzugeben, schon mannigfache Lösungen gefunden hat, dürften
doch die folgenden Überlegungen, die zu einer neuen Klasse affekt-
loser Gleichungen führen, nicht ohne Interesse sein. Dabei wird aus
der Gruppentheorie gar nichts vorausgesetzt und statt dessen ein
äußerst einfacher bisher gar nicht benutzter Gedanke verwertet (§ 2).
Ferner wird die Idealtheorie gänzlich vermieden und nur mit spezi-
fisch algebraischen Methoden operiert. Trotzdem lassen die Betrach-
tungen sich vom natürlichen Rationalitätsbereich fast unverändert auf
beliebige algebraische Zahlkörper übertragen und gestatten, Gleichungen
mit rationalen Koeffizienten hinzuschreiben, die in einem vorgegebenen
algebraischen Zahlkörper ohne Affekt sind; bei dieser Übertragung
werden dann allerdings auch die elementarsten Sätze der Idealtheorie
gebraucht.
Nach Fertigstellung meines Manuskriptes ist eine weitere Note
von Herrn Michael Bauer erschienen, in der er unter Berufung
auf die von den Herren Schur und Furtwängler befolgten Ge-
dankengänge sowie eine eigene frühere Arbeit eine neue Methode an-
deutet, die die Idealtheorie vermeidet, und zwar auch für beliebige
algebraische Zahlkörper.2) Indessen sind zur vollständigen Ausführung
dieser Skizze doch recht erhebliche Vorbereitungen erforderlich, denen
gegenüber meine hier folgenden Überlegungen wohl den Vorzug
größerer Einfachheit und Durchsichtigkeit haben dürften.
§ 2.
Zuriickführung des Problems auf Irreduzibilitätsfragen.
Wir legen zunächst den natürlichen Rationalitätsbereich zugrunde.
Sei /’(ü) = 0 eine irreduzible Gleichung wten Grades mit den Wurzeln
’) Ph. Furtwängler, Über Kriterien für irreduzible und für primitive
Gleichungen und über die Aufstellung affektfreier Geichungen. Math. Annalen
85 (1922).
2) M. Bauer, Ganzzahlige Gleichungen ohne Affekt. Mathemat. Zeit-
schrift 16 (1923).
0. Perron:
nicht ganz elementar. Noch einfacher ist ein Verfahren, das neuer-
dings Herr Furtwängler angegeben hat.1) Schur und Furt-
wängler kommen beide auf den WEBERschen Gedanken zurück,
daß sie Gleichungen bilden mit genau einem Paar konjugiert-kom-
plexer Wurzeln, wodurch erzwungen wird, daß die Gruppe eine
Transposition enthält. Deshalb besteht bei diesen Überlegungen (im
Gegensatz zu M. Bauer) nicht die Möglichkeit, sie auf beliebige
algebraische Zahlkörper zu übertragen.
' Obwohl hiernach das Problem, affektlose Gleichungen beliebigeu
Grades anzugeben, schon mannigfache Lösungen gefunden hat, dürften
doch die folgenden Überlegungen, die zu einer neuen Klasse affekt-
loser Gleichungen führen, nicht ohne Interesse sein. Dabei wird aus
der Gruppentheorie gar nichts vorausgesetzt und statt dessen ein
äußerst einfacher bisher gar nicht benutzter Gedanke verwertet (§ 2).
Ferner wird die Idealtheorie gänzlich vermieden und nur mit spezi-
fisch algebraischen Methoden operiert. Trotzdem lassen die Betrach-
tungen sich vom natürlichen Rationalitätsbereich fast unverändert auf
beliebige algebraische Zahlkörper übertragen und gestatten, Gleichungen
mit rationalen Koeffizienten hinzuschreiben, die in einem vorgegebenen
algebraischen Zahlkörper ohne Affekt sind; bei dieser Übertragung
werden dann allerdings auch die elementarsten Sätze der Idealtheorie
gebraucht.
Nach Fertigstellung meines Manuskriptes ist eine weitere Note
von Herrn Michael Bauer erschienen, in der er unter Berufung
auf die von den Herren Schur und Furtwängler befolgten Ge-
dankengänge sowie eine eigene frühere Arbeit eine neue Methode an-
deutet, die die Idealtheorie vermeidet, und zwar auch für beliebige
algebraische Zahlkörper.2) Indessen sind zur vollständigen Ausführung
dieser Skizze doch recht erhebliche Vorbereitungen erforderlich, denen
gegenüber meine hier folgenden Überlegungen wohl den Vorzug
größerer Einfachheit und Durchsichtigkeit haben dürften.
§ 2.
Zuriickführung des Problems auf Irreduzibilitätsfragen.
Wir legen zunächst den natürlichen Rationalitätsbereich zugrunde.
Sei /’(ü) = 0 eine irreduzible Gleichung wten Grades mit den Wurzeln
’) Ph. Furtwängler, Über Kriterien für irreduzible und für primitive
Gleichungen und über die Aufstellung affektfreier Geichungen. Math. Annalen
85 (1922).
2) M. Bauer, Ganzzahlige Gleichungen ohne Affekt. Mathemat. Zeit-
schrift 16 (1923).