Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Gleichungen ohne Affekt.

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Qi> Qz, • • •; t?n- Der Körper ist dann vom 9?fcen Grad. Wenn
nun weiter die Gleichung (n—l)ten Grades
-m=0,
X—
deren Koeffizienten dem Körper angehören, in diesem Körper
irreduzibel ist, so hat der Körper $ (^t, @2) den Relativgrad n — 1
in bezug auf er ist also im ganzen vom Grad n(n — 1).
Wenn weiter die Gleichung (n— 2)ten Grades
f(%)_=
(a; o x) (a? — q 2j
deren Koeffizienten dem Körper g2) angehören, in diesem Kör-
per irreduzibel ist, so hat der Körper o2, g3) den Relativgrad
n — 2 in bezug auf ^(plf (?2); er ist also im ganzen vom Grad
n (n — 1) (n — 2).
Durch Fortsetzung dieser Schlußweise ergibt sich folgendes:
W enn die Gleichung f(x) — 0 im natürlichen Rationalitäts-
bereich irreduzibel ist, und wenn für 2 = 1, 2,..., n — 2
die Gleichung
0
O~2i) • • • (^ — 2 2)
im Körper . ., qj) irreduzibel ist, so ist der Kör-
per q2, . . ., @Ä_X), oder was dasselbe ist, der Galois-
sche Körper o2, . . ., Qn) vom Grad
n (w — 1) .. . . 3 • 2 = nl.
Der Grad dieses GALOlSschen Körpers ist aber auf Grund einer be-
kannten Definition der Gruppe der Gleichung f(x) = 0 gleich dem
Grad dieser Gruppe. Also ist diese Gruppe vom Grad nl, d. h. es
ist die symmetrische Gruppe; die Gleichung /"(a?) =0 hat daher keinen
Affekt.
Übrigens ist auch umgekehrt klar, daß, wenn die Gleichung
f (a?) — 0 keinen Affekt haben soll, ihr die obigen Irreduzibilitäts-
eigenschaften zukommen müssen, die somit notwendig und hin-
reichend sind.
§ 3.
Wirkliche Aufstellung affektloser Gleichungen.
Nach § 2 kommt es nur darauf an, Gleichungen anzugeben,
welche die dort erwähnten Irreduzibilitätseisenschaften haben. Dazu
verfahren wir folgendermaßen.