Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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0. Perron:

Wir wählen n — 1 verschiedene Primzahlen
Pl; P-2 ’ • • •> P« —1 >
u n d z w a r s e i
P;.+/>2+l für 2 = 2, 3, . . n-2,
so daß es mod p; > x mindestens 2 relativ prime Reste
gibt. Von den Koeffizienten av des Polynoms
f (x) = xn Jra1xn'~1 + . . . + an_i x-\-an
setzen wir dann voraus, daß sie ganze rationale Zahlen
sind und die folgenden Bedingungen erfüllen:

«1
ist teilbar durch jjj,
aber nicht durch
P2>
» » » P1P 2 ’
V V V
P3>
(G-
-2 » » » Pl P-2 • •
• Pn — 2 > „ ,,
Pn-1 i

(II) an_i ist teilbar durch px p2 . . . pn-i;
(III) an ist teilbar durch pxp2 • ■ • pn-i, enthält aber jede
dieser Primzahlen nur in der ersten Potenz;
(IV) für 2 = 2,3,..., n—2 zerfällt das Polynom
x^~ —x^~ -}- ... —ß ci
mod 2V + 1 in ein Produkt von 2 inkongruenten Linear-
faktoren.1)
Alsdann behaupten wir, daß die Gleichung f (x) = 0
die in § 2 formulierten Irreduzibilitätseigenschaften
hat, also im natürlichen Rationalitätsbereich ohne
Affekt ist.
Bevor wir zum Beweis übergehen, soll gezeigt werden, daß sich
die obigen vier Bedingungen leicht verwirklichen lassen. Zu dem
Zweck wähle man n — 2 ganze Zahlen kt, k2, . . ., kn_2 derart, daß
für 2=1, 2, . . ., n — 2 die 2 Zahlen
Pi^’i, PiP2^2> • • •; PiPz • • ’Px
mod 2V + 1 inkongruent und relativ prim zu /j^ + i sind. Das kann
beispielsweise dadurch erreicht werden, daß man die k^ aus den Kon-
gruenzen bestimmt:
Pi&i=l (mod p2p3 . . ,pn_d,
p1p2k2 = 2 (mod 293294 . . •29)i._1),
P1P2, • • • Pn — zkn 2 = n 2 (mod p) n—i).
2) Das ist wegen (I) nur möglich, wenn es mocl x mindestens 2 relativ
prime Reste gibt, was wir deshalb oben ausdrücklich verlangt haben.