Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Heinrich Liebmann :

«X — ^6.)

(1 + ^3—^3)
^3 — ^2

+ X1 (^2—^2),

y = y-i

(l-\-xy3 — yx3)
X21/3 X3V2

+ yi ^y2-yx2\

Die Kurven mit gegebenem Affindrehpunkt ihrer Elemente sind
dann die Kegelschnitte, die diesen Punkt zum Mittelpunkt Haben.
3. Das Ext rem al en pro blem. Ganz von selbst wird man
durch den Eigenparameter auf das Variationsproblem geführt, die-
jenigen Kurven zu bestimmen, für welche die Variation

d J dt

zu Null wird. Bei den Bewegungen erhält man als Extremalen Gerade,
also Bahnkurven einer Untergruppe. Auch die Bahnkurven der all-
gemeinsten Untergruppe, die Kreise, sind Extremalen eines invarianten
isoperimetrischen Problems. So wird man auf die Frage geführt, wie
wohl die Bahnkurven aller Untergruppen einer gegebenen Gruppe als
Extremalen invarianter Variationsprobleme gedeutet werden können.

§ 2. Die Gruppe der ebenen Inversionen.
1. Bestimmung der Inversionskrümmung. Es sei 0 der
Krümmungsradius, t der Neigungswinkel der Tangente, t der oben
(§ 1, Nr. 1) eingeführte Eigenparameter, so daß die Beziehung gilt

Ist
dann x, y der I
hinkt der Kurve, u, v der zugehörige der
Evolute,
also
u = x-
- q sin t, v — y + q cos t
u1 = —
sill T, y1==^1 COS T,
so findet
man
folgende Tabelle der Zuwachsgrößen
l
r, V, P, Ur
, V1} T von u, v, 0, v1} t
■w2 —v2+p2
U: 1 0
— V
u
* UV
— u2 + v2 + p2
F: 0 1
u
V
u v --%-
P: 0 0
0
Q
U Q V Q
U{: 0 0
— Oj cos t — sin
t -WCost-f sin r) o,(wcosr-vsin t)
Fi; 0 0
-Gf
sin? ()|Cosr (wcost—v sin t) (^-J-usinr —veosr)
T: 0 0
1
0
v — q cos t. — u — 0 sin t
Die Erweiterungen l'ü
r die Zuwachsgrößen, von t2, t3 ergeben
bei den
vier
ersten Gruppen (Bewegung und Ähnlichkeit) Null, bei
der fünften