DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43568#0008
8
Heinrich Liebmann:
2. Die invariant verknüpften Kreisbüschel. Sechs be-
nachbarte Punkte einer Kurve (oder fünf Linienelemente) bestimmen
die oskulierendc Loxodrome, deren singuläre (asymptotische) Punkte
dann die Nullkreise des hyperbolischen und die Grundpunkte des
elliptischen Kreisbüschels sind, von dem je fünf benachbarte Kreise
die Kurve unter gleichem Winkel ^(7—y) treffen.
Zur Bestimmung dieser beiden Punkte und des Winkels ist
selbstverständlich die Eigengruppe des Elementes zu verwenden. Es
handelt sich also darum, die sechs infinitesimalen Transformationen
W).. W)
so zu vereinigen
W4 + a2 W2 + a3 W3 + a4 W4 + a6 W5+a6 W6,
daß bei der entstehenden Untergruppe die Eorderungen erfüllt sind
P=q1} T=t1} T-^t2, T2 = t3.
Man erhält so die Bedingungsgleichungen
/ w2-'W2-|-o2\
— a3 v -pa^u
+ aß( 2 ’ )
-|- a6uv
= — Cjl sin 1
6t2 + «3W +Ct4V
-]-a5uv
, ^-u2+o2+?2'
+ ctw 2 )
| = COS T
«3 +«4?
+«6ve
= (?i,
+ ct5 (v — (O cös t)
-|-a6 (m — q sin r)
= T1>
a5o sin t, ij
— a6 0 cos t, t4
— r2>
o ,Ja (sin t (1 +r2) + cos tt4) cosr(l+r2)-|-sinTT4) = t3,
Hieraus wären die a zu berechnen.
Die invarianten Nullkreise (ü, v, £ — 0) findet man nachträglich
aus den Eorderungen
U= a4 — a3v . . . + a6 M ü = 0,
t7 1 Z— Ü2 + r
h = a2 + asu... a6 J=0,
die man durch Einführung von
leicht in die eine zusammenfassen kann
a2 — i a1 + # (a3 — i ot4) — (a6 +««5) = 0-
Der Mittelpunkt M der die beiden Nullkreise verbindenden Strecke
ist dann gegeben durch
^0 + ^0 =
1 a3 — i a4
2 a6+««ö’
einfachste LAGUERREsche Inversion hervorgehenden .Kurven die drei Eigen-
schaften. (Der „Lagverre - Parameter“ ist durch
dt = y ägdr
gegeben.)
Heinrich Liebmann:
2. Die invariant verknüpften Kreisbüschel. Sechs be-
nachbarte Punkte einer Kurve (oder fünf Linienelemente) bestimmen
die oskulierendc Loxodrome, deren singuläre (asymptotische) Punkte
dann die Nullkreise des hyperbolischen und die Grundpunkte des
elliptischen Kreisbüschels sind, von dem je fünf benachbarte Kreise
die Kurve unter gleichem Winkel ^(7—y) treffen.
Zur Bestimmung dieser beiden Punkte und des Winkels ist
selbstverständlich die Eigengruppe des Elementes zu verwenden. Es
handelt sich also darum, die sechs infinitesimalen Transformationen
W).. W)
so zu vereinigen
W4 + a2 W2 + a3 W3 + a4 W4 + a6 W5+a6 W6,
daß bei der entstehenden Untergruppe die Eorderungen erfüllt sind
P=q1} T=t1} T-^t2, T2 = t3.
Man erhält so die Bedingungsgleichungen
/ w2-'W2-|-o2\
— a3 v -pa^u
+ aß( 2 ’ )
-|- a6uv
= — Cjl sin 1
6t2 + «3W +Ct4V
-]-a5uv
, ^-u2+o2+?2'
+ ctw 2 )
| = COS T
«3 +«4?
+«6ve
= (?i,
+ ct5 (v — (O cös t)
-|-a6 (m — q sin r)
= T1>
a5o sin t, ij
— a6 0 cos t, t4
— r2>
o ,Ja (sin t (1 +r2) + cos tt4) cosr(l+r2)-|-sinTT4) = t3,
Hieraus wären die a zu berechnen.
Die invarianten Nullkreise (ü, v, £ — 0) findet man nachträglich
aus den Eorderungen
U= a4 — a3v . . . + a6 M ü = 0,
t7 1 Z— Ü2 + r
h = a2 + asu... a6 J=0,
die man durch Einführung von
leicht in die eine zusammenfassen kann
a2 — i a1 + # (a3 — i ot4) — (a6 +««5) = 0-
Der Mittelpunkt M der die beiden Nullkreise verbindenden Strecke
ist dann gegeben durch
^0 + ^0 =
1 a3 — i a4
2 a6+««ö’
einfachste LAGUERREsche Inversion hervorgehenden .Kurven die drei Eigen-
schaften. (Der „Lagverre - Parameter“ ist durch
dt = y ägdr
gegeben.)