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https://doi.org/10.11588/diglit.43568#0011
Beiträge zur Inversionsgeometrie HL
11
und da die Krümmungslinien ein isothermes Netz bilden, so ist zu
setzen E — G — w2 (u, v)
oder e = (/ = w (w, y).
Es ist also aus
7 t i _I- 7t2 1 "t7 7 X 4~ "AT / X )
1 2 \L(u) N(y)/
weiter zu folgern L (u) — — N (v) = c,
oder 2i1=w2c"'1, 77,= —w2c~ x.
Demnach kommt, wenn die Differentiationen nach u und v durch
die Fußmarken 1 und 2 bezeichnet werden,
Jj = | (c ~2 (2 w wlt+wf — 3 wf) +1),
^2 = I (c ~2 (2 W w22 +w? — 3w%) 1),
und es soll w dann so bestimmt werden, daß diese Größen konstant
sind und ihre Summe gleich Eins. Dies führt auf die Gleichungen
2 w wn 4- — 3 Wi = c2 (14- x),
2 w w22 4- wl — 3 wl — c2 (1 — x).
Hier führt man noch u-\-v und u — v an Stelle von -wund v ein
und erhält
2 w (wn 4- 2 w12 4- '^22) + («G — w2)2 — 3 (wx + w>2)2 i= c2 (14- x),
2 w (wxx - 2 wX2 4- w22) 4- (wx + w2)2 — 3 (wx — w2)2 = c2 (1 — x).
Hierfür kann geschrieben werden
2 w (wxx 4- '^22) — 2 wx2 — 2 w22 = c2,
4 w12 — 8 wxw2 = c2x.
Schließlich gibt die Substitution
c 2
die einfachen Differentialgleichungen:
^11 + ^22= 2e"2^,
A12 — 7X22 — x e 2
Unsere Aufgabe ist jetzt darauf zurückgeführt, festzustellen, wann
diese beiden Gleichungen verträglich sind — es wird sich daraus er-
geben, daß man x gleich Null nehmen muß. Sodann aber sind die
Minimalflächen wirklich zu bestimmen.
Man setzt zunächst , „1 ,
Än = e-2Z4-/x,
H22 — e-2^ — /.<,
A12 — xe_2Z4-2122.
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und da die Krümmungslinien ein isothermes Netz bilden, so ist zu
setzen E — G — w2 (u, v)
oder e = (/ = w (w, y).
Es ist also aus
7 t i _I- 7t2 1 "t7 7 X 4~ "AT / X )
1 2 \L(u) N(y)/
weiter zu folgern L (u) — — N (v) = c,
oder 2i1=w2c"'1, 77,= —w2c~ x.
Demnach kommt, wenn die Differentiationen nach u und v durch
die Fußmarken 1 und 2 bezeichnet werden,
Jj = | (c ~2 (2 w wlt+wf — 3 wf) +1),
^2 = I (c ~2 (2 W w22 +w? — 3w%) 1),
und es soll w dann so bestimmt werden, daß diese Größen konstant
sind und ihre Summe gleich Eins. Dies führt auf die Gleichungen
2 w wn 4- — 3 Wi = c2 (14- x),
2 w w22 4- wl — 3 wl — c2 (1 — x).
Hier führt man noch u-\-v und u — v an Stelle von -wund v ein
und erhält
2 w (wn 4- 2 w12 4- '^22) + («G — w2)2 — 3 (wx + w>2)2 i= c2 (14- x),
2 w (wxx - 2 wX2 4- w22) 4- (wx + w2)2 — 3 (wx — w2)2 = c2 (1 — x).
Hierfür kann geschrieben werden
2 w (wxx 4- '^22) — 2 wx2 — 2 w22 = c2,
4 w12 — 8 wxw2 = c2x.
Schließlich gibt die Substitution
c 2
die einfachen Differentialgleichungen:
^11 + ^22= 2e"2^,
A12 — 7X22 — x e 2
Unsere Aufgabe ist jetzt darauf zurückgeführt, festzustellen, wann
diese beiden Gleichungen verträglich sind — es wird sich daraus er-
geben, daß man x gleich Null nehmen muß. Sodann aber sind die
Minimalflächen wirklich zu bestimmen.
Man setzt zunächst , „1 ,
Än = e-2Z4-/x,
H22 — e-2^ — /.<,
A12 — xe_2Z4-2122.