Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Umkehrung des Variationsproblems der ebenen Affin-
geometrie.
1. Die Extremalen des affin-invarianten Variationsprobieins


sind bekanntlich die Parabeln. Nimmt man für t die „Affinlänge“,
das heißt also: nimmt man
— y'x" = 1,
so erhält man die Darstellung
x = Xq —|- cty zi t —1—— Zl O,
7. (<{U2 ~ Ua2 — 1)
y = Vo+U a t+At2.
Sind x0, y0, a1} U gegeben, so sind damit alle von dem Krüm-
mungselement
ausgehenden Parabeln dargestellt, und die Elimination von At ergibt
zl^2 At2
(y ~ y^) ai (^ — *o) U — ~2~ (öi^2— Ua2) •
Man sieht, daß der Ort der Endpunkte gleicher „Affinstrecken“
At auf den von einem Krümmungselement ausgehenden Extremalen
eine Gerade ist.
Diese Beziehung bleibt bei Kollineation selbstverständlich erhalten.
Um auf diese Tatsache näher einzugehen, transformieren wir zunächst
das Integral


vermöge
x: y: 1 = (anx + a12?/ — a13) : (a21:r + a22?/ + ^23) : (a3i^ + a232/ + ^33)
und erhalten: