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https://doi.org/10.11588/diglit.43845#0005
Umkehrung cles Vanäfionsproblems der ebenen Affingeometrie.
Die Frage ist zu lösen durch Verwendung der Forderung
Ay = 99 (x, y, yv y2, AP) Ax + y> (x, y, ylt y2, AP),
die eben zum Ausdruck bringt, daß die Komponenten Ax, Ay der
(geraden) Strecke PQ eine lineare, vom Ausgangselement (x, y, yv
und der reduzierten Länge der Extremalegbögen (PQ) abhängige Be-
ziehung zu erfüllen haben. Für cp und ig gelten die Ansätze
cp = di + «zL2 + «rd/d -ß • • •
Für Ay ist die Reihenentwickelung einzusetzen
zl?/ = yxAx + Ax2 -f~ Ax3 + ■ • »
und für Ab die Reihe
At — J*f Ax = Ax Ax + -^y Ax2. .
Die Differentialquotienten y^, y5 . . sind dann vermöge der Euler-
schen Gleichung
d d2, .
Iy~dx ^1) + ^^2) = ü
und ihrer Ableitungen zu eliminieren, und die durch Koeffizienten-
vergleichung gewonnenen Beziehungen dürfen y3 nicht mehr enthalten.
Es wird sich zeigen, daß
1 _ 1
/ = #2'’ A~by c)
die einzige Funktion ist, die vorgeschriebene Fordernng
erfüllt.
W ir werden zuerst nachweisen, daß f die Form haben muß
y, dv dz) = dzA F (%, y, di),
sodann erkennen, daß P von y} frei sein muß
^i = 0,
endlich die Gestalt von F
-1
F = g (g linear in x und g)
erhalten.
3. Man hat gemäß der angestellten Überlegung die Koeffizienten-
vergleichung in
= Ax (aAt2 + a1Ati + ..) + /SAP2 + yAP+..
Die Frage ist zu lösen durch Verwendung der Forderung
Ay = 99 (x, y, yv y2, AP) Ax + y> (x, y, ylt y2, AP),
die eben zum Ausdruck bringt, daß die Komponenten Ax, Ay der
(geraden) Strecke PQ eine lineare, vom Ausgangselement (x, y, yv
und der reduzierten Länge der Extremalegbögen (PQ) abhängige Be-
ziehung zu erfüllen haben. Für cp und ig gelten die Ansätze
cp = di + «zL2 + «rd/d -ß • • •
Für Ay ist die Reihenentwickelung einzusetzen
zl?/ = yxAx + Ax2 -f~ Ax3 + ■ • »
und für Ab die Reihe
At — J*f Ax = Ax Ax + -^y Ax2. .
Die Differentialquotienten y^, y5 . . sind dann vermöge der Euler-
schen Gleichung
d d2, .
Iy~dx ^1) + ^^2) = ü
und ihrer Ableitungen zu eliminieren, und die durch Koeffizienten-
vergleichung gewonnenen Beziehungen dürfen y3 nicht mehr enthalten.
Es wird sich zeigen, daß
1 _ 1
/ = #2'’ A~by c)
die einzige Funktion ist, die vorgeschriebene Fordernng
erfüllt.
W ir werden zuerst nachweisen, daß f die Form haben muß
y, dv dz) = dzA F (%, y, di),
sodann erkennen, daß P von y} frei sein muß
^i = 0,
endlich die Gestalt von F
-1
F = g (g linear in x und g)
erhalten.
3. Man hat gemäß der angestellten Überlegung die Koeffizienten-
vergleichung in
= Ax (aAt2 + a1Ati + ..) + /SAP2 + yAP+..