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https://doi.org/10.11588/diglit.43851#0024
24
Julius Wellstein :
§ 8. Die Tangentenfläche der isotropen Kurve.
25. Die Tangentenfläche [Z] der isotropen Kurve QY)
wird durch die Gleichung
(1) {ZI w) = (X/' w) + q (aßv)
mit veränderlichem q dargestellt; jede Kurve der Fläche, von deren
Gratlinie und den Erzeugenden abgesehen, läßt sich durch (1) dar-
stellen, wobei q = q{p} eine analytische Funktion von p in dem
Existenzbereich der Kurve (X) ist. Setzt man
(2) g = ^ + , f=g'-g2jr so folgt,
C1
daß für g2 + 2 f 0 die Kurve (Z) in einer isotropen Ebene liegt; ist
dagegen g2 2 f 4 0, so ist (Z) eine anisotrope, ebene oder unebene
Kurve. In diesem letzteren Falle sind die Einheitsvektoren der Tan-
gente, Hauptnormale und Binormale von (Z) bestimmt durch:
(3) (ajw') = V-1 (ga + b/w) ■ {ß\w} = -^^{f^g2}a+gb-c\w^',
(jM = ~Pb 1 -gb-T cjw } , WO
(4) K2= /22^.^. das Quadrat des Krümmungsradius ist. Die
Schmiegebene der Kurve, {Y—Zjy)=0, dreht sich bei veränder-
lichem f um die — durch g allein bestimmte — Kurventangente.
Die Krümmungsachse der Flächenkurve (Z) ist durch die Gleichung
(5) (F — Z\w) = R{ßlw')-Sr gegeben; sie enthält für t = t0
= —R l — 1 den Punkt {Y°ßv~) = (ZjiY) 4- R{ßßo')-\- t0 (y/w) = (X|v>)>
d. h. die Krümmungsachsen sämtlicher Flächenkurven zu
den Punkten derselben Erzeugenden gehen durch den zu-
gehörigen Punkt X der Gratlinie. Weiterhin ist X einer der
Scheitel des Krümmungskreises von (Z), d. h. der Krümmungskreis
wird durch den isotropen Kegel [C] mit der Spitze X projiziert, und
dieser Kegel enthält die Krümmungskreise aller Flächen-
kurven zu den Punkten der zu X gehörigen Erzeugenden,
die Schmiegebenen schneiden aus [C] die Krümmungskreise
heraus. Die Gratlinie (X) ist die gemeinsame Begleiter-
kurve der Flächenkurven.1)
Der Krümmungsmittelpunkt X:
(6) (K/w) = {Zlw) + R (ß'w)
ist der Fußpunkt des von X auf die Schmiegebene gefällten Lotes,
und daher liegen die Punkte K aller durch denselben Flächen-
) In der Bezeichnungsweise von E. Study [L. 4] S. 47.
Julius Wellstein :
§ 8. Die Tangentenfläche der isotropen Kurve.
25. Die Tangentenfläche [Z] der isotropen Kurve QY)
wird durch die Gleichung
(1) {ZI w) = (X/' w) + q (aßv)
mit veränderlichem q dargestellt; jede Kurve der Fläche, von deren
Gratlinie und den Erzeugenden abgesehen, läßt sich durch (1) dar-
stellen, wobei q = q{p} eine analytische Funktion von p in dem
Existenzbereich der Kurve (X) ist. Setzt man
(2) g = ^ + , f=g'-g2jr so folgt,
C1
daß für g2 + 2 f 0 die Kurve (Z) in einer isotropen Ebene liegt; ist
dagegen g2 2 f 4 0, so ist (Z) eine anisotrope, ebene oder unebene
Kurve. In diesem letzteren Falle sind die Einheitsvektoren der Tan-
gente, Hauptnormale und Binormale von (Z) bestimmt durch:
(3) (ajw') = V-1 (ga + b/w) ■ {ß\w} = -^^{f^g2}a+gb-c\w^',
(jM = ~Pb 1 -gb-T cjw } , WO
(4) K2= /22^.^. das Quadrat des Krümmungsradius ist. Die
Schmiegebene der Kurve, {Y—Zjy)=0, dreht sich bei veränder-
lichem f um die — durch g allein bestimmte — Kurventangente.
Die Krümmungsachse der Flächenkurve (Z) ist durch die Gleichung
(5) (F — Z\w) = R{ßlw')-Sr gegeben; sie enthält für t = t0
= —R l — 1 den Punkt {Y°ßv~) = (ZjiY) 4- R{ßßo')-\- t0 (y/w) = (X|v>)>
d. h. die Krümmungsachsen sämtlicher Flächenkurven zu
den Punkten derselben Erzeugenden gehen durch den zu-
gehörigen Punkt X der Gratlinie. Weiterhin ist X einer der
Scheitel des Krümmungskreises von (Z), d. h. der Krümmungskreis
wird durch den isotropen Kegel [C] mit der Spitze X projiziert, und
dieser Kegel enthält die Krümmungskreise aller Flächen-
kurven zu den Punkten der zu X gehörigen Erzeugenden,
die Schmiegebenen schneiden aus [C] die Krümmungskreise
heraus. Die Gratlinie (X) ist die gemeinsame Begleiter-
kurve der Flächenkurven.1)
Der Krümmungsmittelpunkt X:
(6) (K/w) = {Zlw) + R (ß'w)
ist der Fußpunkt des von X auf die Schmiegebene gefällten Lotes,
und daher liegen die Punkte K aller durch denselben Flächen-
) In der Bezeichnungsweise von E. Study [L. 4] S. 47.