24. April 2004 | 75

unbeschränkte Komponenten CT±(s) von Lösungen der DR; wir setzen {<J±} =: UCa.
Für große \ß\ sind sie einfache Wurzeln von DR. Ist a — 0, dann gilt UC0 C ilR,
und DR\UC0 hegt außerhalb eines Streifens | ReOj < p0, wobei p0 > 0 von der Ord-
nung 0(1-/?) ist. Für a > 0 gilt UCa C CCT. DR\UCa besteht aus abzahlbar
vielen kompakten Komponenten, von denen jede in einem Punkt der Form (pk,0),
Pk ~ "w? k G Z, entspringt bzw. endet. Ferner gibt es, für jedes a > 0, ein /30(ct) >
0 so, dass O (s) E DR für \ß | > /30(a) einfach ist.

4. Inversion des hyperbolischen Teils
Die Inverse (dx— A(s))1 hat die Aufgabe, den Regularitätsverlust durch die Nichtli-
nearität zu kompensieren. Hier betrachten wir für jedes a > 0 den Teil DR\UCa und
nennen ihn hyperbolisch im Blick auf den Fall Ct = 0.
Gelöst wird daher, bei gegebenem w° E h4 und G = (g, 0, Fj) E (/i0,3)2 X K2 das
System (2) mit G] = 0; hierbei sind ip die adjungierten — und (p± die Eigen-
funktion von A(s) zu <7±(s),J = ( i o),

— / s + a cos ay cos ay
0 = 1,-j-, er---
— \ IJ COS <7 COS <7

P =

J 0\
0 J)

und [ip, G] steht für das natürliche Skalarprodukt.
Wir überlassen die Analyse dem interessierten Leser, weisen aber daraufhin, dass Fb
bei gegebenen u0, u1 linear in Uo ist; FßU) =: FV + FW. Kist dabei harmonisch mit
Ry = 0, V1 = und W der Glättungsanteil, d.h. AIR = F^U), W°y = FE1 = 0. Er
wird dominiert durch FR durch die Neumann-Reihe.
Als Ergebnis halten wir fest: Die hyperbolische Inversion von (2) ergibt U E K4. Zur
hier verwendeten Theorie vgl. [M87].

5. Der zentrale Fall
Gelöst wird (2) für a > 0 in dem durch UCa bestimmten Unterraum. Es gilt
g± = [±±,G + Du°], g++g-=0,
c± = [?+, Ü]
und verwende
[?fc, G + Du0] = 0, ak = pk -
- (S + Pfe)2

und wähle k E TL so, dass ß2 < pk < ß2 + tc gilt. Damit erhält man eine Abschätzung
von g+ durch 1/ \ß |. Ferner gilt O± = - s ± Q, wobei
a . L ß hx/2
2/z(?th/3)1/2 \th/3y
Somit folgt
(c++ c_)(z, s) = — [ e~sv(epv — e-^)//4“(x + 77) dz?,
Jo