Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

6

Lothar Heffter:

wobei s 4 0 vorausgesetzt wurde. Ist aber diese Bedingung (19) er-
füllt, so ist nach (17) und (11)
(20) do2 — F (dx, dx) F (dx', dx') = f (dx, dx) f (dx', dx') — ds2 ■ ds'2.
D. h. Sind ds und ds' orthogonal zueinander, so ist das
durch ds und ds' bestimmte Flächenelement

do = ds ■ ds',

(21)
ein Resultat, das auch für e — 0 gilt.

Wählt man bei X-dX speziell dx2 — 0 und drückt dx.. nach (9)
durch dx, aus, bei X-\-dx' dx, — §, dx'., — dx2 und drückt wieder
dx'3 durch dx'2 = dx2 aus, so folgt
, dx, dx, dx, dx,
(22) do = —1-- = 1 ..=^=2=^ .
V 1— ex2 — sx2
Andrerseits ist die Determinante aus den Koeffizienten A^ der qua-
dratischen Differentialform (12) nach (13)

(23)

A,, A,, —A22

1 _
1 — £X2—£X2 ’

sodaß man die bekannte Beziehung hat
(24) do — VAriA22—A12 dx,dx2-
(22) und (24) sind unmittelbar zur Integration geeignet.

III. Grundgebilde III. Stufe: Raum.

Wie in A. sei jetzt
(25) f (u, u) = u2 ff- u2 ff- u23 ff-e u2

<p(q,q) = ql3A-q*31+qh
+ «feL + + f?3 J

F (x, x)= S (x2 F X% ff-F() ff- x'i
+ £ (1*2 3 +-^3 1 +1>(2)-

Linienelement. — Ist X in Normalkoordinanten gegeben, so
gilt das auch für den Nachbarpunkt XA~dX, da

(26)

F (x, x) = 1, F (x, dx) — 0.

Ihr „Streckenquadrat“ oder das Quadrat des Linienelcmentes ist dann
nach A. (14a)
(27) ds2 = F (v, v) = (x dx)2ti ff- (xdx)22i ff- (x dx)23i
ff- e [(x dx)23 4-Q; dx)231 ff-(a; ^)(J.

Entwickelt man hier alle Quadrate und addiert den Ausdruck e F (x, dx)2,
so folgt unter Rücksicht auf (26)
(28) ds2 = f (dx, dx)
wie in Formel (5) und (11). Eliminiert man mittelst der Gleichungen
(26) dx^ und so folgt
(29) ds2 = XAikdxidxJ,, (/,/v= 1,2,3)