Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur absoluten Geometrie II.

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wo
(30) J,

1 — | e xix]c
1 — fi(^i+^o+^3) ’ 1 — £ (x, 4- X; + X*)

Flächenelement. — X-dX und X-\-dX' seien zwei zu X be-
nachbarte, nicht mit X kollineare Punkte, die mit X selbst in Normal-
koordinaten gegeben sind, da dann
(31) F(x,x) = l, F (x,dx) = 0, F(x, -

Nach A. (18a) ist das durch sie bestimmte Flächenelement
(32) do2 =f (v,v),
wo für die v. die 4 Determinanten der Matrix

(83)

zy> ry> /y /y>
tXy 1 uv lO
dxt dx, dx3 dxx
dx\ dx\ dx',t dx\

zu setzen sind. Oder, wenn bei der Rechnung zunächst wieder £2 — 1
vorausgesetzt wird,

(34)

do* -

F (x, x) F (x, dx) F (x, dx')
F (dx, x) F (dx, dx) F (dx, dx')
F (dx', x) F (dx', dx) F (dx', dx')

oder unter Benutzung von (31)

, , 2 I F (dx, dx) F (dx, dx')
do ~\f (dx', dx) F (dx', dx')
— (dxdx)2 3 4- (dxdx)} 1 + (dxdx) *, + £ [ (dxdx), 4 + dxdx)2 4 + {dxdx )2 4],
d. h. endlich
(36) dF - y ({dxdx'), {dxdx')),
das Quadrat des Flächenelementes ist gleich der aus
den Determinanten {dxdx')^ der Differentialien dxi, dx/
gebildeten Maß Funktion 99.
Trotz ihrer Ableitung gilt die Forme] auch für £ = 0 in der Eukli-
dischen Geometrie.
Genau wie (21) ergibt sich: Sind ds und ds' orthogonal
zueinander, so ist das durch ds und ds' bestimmte
Flächenelement
(37) da = ds • ds',
ein Resultat, das auch für e = 0 gilt.
Volumenelement. — Ist X in Normalkoordinatei} gegeben,
so bestehen die Gleichungen