Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Lothar Heffter:

(38) F (x, x) = 1, F (zr, dx) = 0, F (x, dx') = 0, F {x, dx") = 0,
und die benachbarten Punkte X -f- dX, X -f- dX', X -f- dX" sind eben-
falls in Normalkoordinaten gegeben. Das Quadrat des durch die vier
Punkte bestimmten Volumenelementes ist daher nach A. (24 a)
(39) dv2 = {x dx dx'dx")2
F{x,x) F{x,dx) F{x,dx') F{x,dx") \
_ F {dx, x) F {dx, dx) F {dx, dx') F {dx, dx")
F{dx',x) F{dx',dx) F{dx',dx’) F{dx',dx")
F {dx", x) F {dx", dx) F {dx", dx') F{dx", dx")
oder nach (38)

(40) dv2 = £

F {dx, dx) F{dx, dx') F{dx, dx")
F{dx',dx) F{dx',dx') F{dx,dx")
F{dx", dx) F{dx", dx') F{dx", dx")

= s{dxdx'dx")2., -p e{dxdx'dx")l + e{dxdx'dx")2 + {dxdx'dx")2,
d. h.
(41) dv2 = JF [{dxdx'dx"), {d.xdx'dx")^,
das Quadrat des Vo lu me n el em en t e s ist gleich der aus
den Determinanten {dxdx'dx") i der Differentialien dx#
dx/, dx" gebildeten Maß f u n k t i o n F.
Wie beim Flächenelement ergibt sich aus (40), falls ds, ds, ds"
drei zueinander orthogonale Linienelemente sind,
(42) dv2 = e F {dx,dx) F{dx', dx) F{dx", dx")
= f {dx,dx) f{dx, dx) f{dx", dx"),
d. h. nach (28)
(43) dv — ds • ds' • ds".

Wählt man speziell die Nachbarn von X so, daß bei jedem immer
nur ein dxi (i = 1, 2,3)40, und drückt jedesmal das vierte Differential
nach (38) durch das von Null verschieden gewählte dx{ aus, so folgt

(44)

7 dx. dx„ dx., dx, dx., dx.
dv = — — ' = T7-
x, I' 1—£ (.r2 d-ir2 + V2)

und hieraus sowie aus (29) und (30) wieder

(45) dv — \d j \ clxr dx2 dx:i d)

0 Vgl. O. Holder, Math. Zeitschr. 20 (1924) S. 7—20 und 21 (1924) S. 160