Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Otto Volk:

(48)

(49)

§ 4.
Die Pseudosphäre.
Die Gleichung der Pseudosphäre ist:

7c4, 7v5. Setzen wir nun in die Gleichungen (25) für cos a, cos ß, cos /
cos 2, cosy, cos r ihre Werte aus (29) ein, so erhalten wir:
U2 + z Ut + cos ■& (xVs + y V2 + z Pj) = 0,
' ' ( (^ U3 + y U2-\-^ Uß) cos -ß x V3 -ß y V2-]~ z V1 = 0,
und daher: ( x Uz+y U2 +z Ur = 0,
(47) \ xV„ + yV, + zV, =0.

• TL TL V V
Besteht nun zwischen 2 und ~ die Beziehung (43), so
t/i (?! I i
bilden sowohl die Kurven u = const. wie v = const. ein Büschel, das
für &4 = 0 (in Gl. (45)) für beide ein und dasselbe ist. Dieser Fall
scheidet aber aus, da ja dann kein Netz vorhanden ist1).
Ist aber c± 4 0, so ändert E boim Übergang zu dem System (35)
seinen Wert. Es geht dann in (43) k in einen Wert k' über, wäh-
rend l unverändert bleibt. So erhält man:
ü, ” + ’
Fj /l F, 1 '•
Wir erhalten also zwei verschiedene Büschel.
Tritt aber die Beziehung (45) ein, so daß 7v4 4 0 ist, so erhalten
wir als Enveloppe sowohl für die Kurven u = const. als v = const. ein
und dieselbe Kurve; diese wird aus der Kugel ausgeschnitten durch
den Ursprungskegel 2. Ordnung:
an x2 + 2 a 12 x y + a22 y2 + 2 a13 x z + 2 a23 y z + «33 £2 = 0.
Wir erhalten somit den auch von Herrn Perron 2) bewiesenen Satz:
Zwei Scharen von größten Kreisen auf einer Kugel
bilden ein rhombisches Netz, wenn sie entweder zwei ver-
schiedene Büschel bilden oder identisch sind und ein und
dieselbe Kurve umhüllen, die durch einen Kegel zweiter
Ordnung mit der Spitze im Mittelpunkt der Kugel aus der-
selben ausgeschnitten wird.

U U3 Vi F3
x) Dasselbe gilt auch von dem Fall, daß gleichzeitig
(7i (7i Ki ri-
konstant sind.
2) 1. c. S. 174.