Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über geodätische rhombische Kurvennetze auf krummen Flächen usw. 17

der beiden Werte von cos d der Gleichungen (60) die folgende Funk-

tionalgleichung:
r0|< E+- u,* - (f,- cy2) u; - 2 (rT - uj b0 p0>],
= Pol - (r„2 — P»2 + ( F,— V/ + 2(7,— F,) F„ Fo'].

Durch Einfuhren der neuen Größen:

, du , „ dv
dU= TT , dV = ,
Po ’ o

TT — IT2 - TT 2 F = F 2 — F 2
L“ ( 0 U1 ’ r 2 r 0 ' 1

erhält man hieraus schließlich die einfache Funktionalgleichung:

D? F- U2' Fx - U.' U2 + U, U2' = ~U2V:+ L\ V,' - Ur V2' + V. K'.
Ersetzt man in dieser Gleichung noch Ulf ü2, Vv V2 bzw. durch
UVV
A, -J, so erhält mau hieraus die Funktionalgleichung (30).
LJ o Y g Y ß
Aus den Gleichungen (57) und (58) kann man nun leicht auf den
Verlauf der Scharen u = const. und v=const. schließen. Durch Qua-

drieren erhält man nämlich:

2 a cp r2 U-^ — a2 r2 U2 -f- (a2 + r2 <p2) U3 = 0
2 a cp r2 Vy — a2 r2 V2 -f- (a2 -j- r2 cp2) F3 = 0-
Diese Gleichungen gehen aus den Gleichungen (47) hervor, wenn
man x,y,z bzw. durch a2-Vr2cp2, ~a2r2, 2ar2cp ersetzt. Man erhält
also den auch von Herrn Perron1) abgeleiteten Satz:
Zwei Scharen geodätischer Linien bilden auf der Pseu-
dosphäre ein rhombisches Netz, wenn sie entweder zwei
verschiedene Büschel bilden oder identisch sind und die-
selbe ,K u r v e
an (a2 -j- r2 9?2)2 — 2 a12 a2 r2 (a2 -f- r2 cp2) -J- a22 ■ cT1 V
+ 4 3 a (a2 J- r2 cp2) r2 cp — 4: a23 cU V q? + 4 a33 a2 V cp2 = Q
umhüllen.

§ 5-
Die Flächen konstanter Krümmung im allgemeinen.
Ist auch die Frage nach den rhombischen geodätischen Netzen
auf den Flächen konstanter Krümmung durch die bereits behandelten
Fälle der Ebene, der Kugel und der Pseudosphäre wegen der Ver-
biegungsmöglichkeit einer jeden anderen Fläche in eine jener speziellen
vollständig beantwortet, so mag trotzdem die folgende allgemeine Be-
trachtung nicht ganz wertlos sein. Sie wird nämlich die direkte Be-

ü Vgl. 1. c. S. 177.