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https://doi.org/10.11588/diglit.43394#0019
Über geodätische rhombische Kurvennetze auf krummen Flächen usw. 19
Hieraus ergibt sich durch Differentiation der ersten Gleichung: und
Vergleichung; mit der zweiten:
ax = — .6.
In ganz derselben Weise findet man:
q = d.
Endlich erfordert das Erfülltsein der Gleichung (62):
dx = 61( a = — c, c± = — b, d = av
Man zeigt nun leicht, daß die so erhaltenen sechs Beziehungen zwischen
den Koeffizienten a, b, c, d nicht unabhängig voneinander sind.
Denn aus:
b = — alf q = d, d = ax
folgt:
q = - b.
Es bleiben also drei Konstanten, etwa a, b, b±, willkürlich und wir
erhalten :
„ J1'2 , F'2
F —3. + kF=a + bF, F" - + 3 k F3 = ~ b F+^F2,
„ F2 F2
F"- %~+kF=a+bF, F' -1- -V + 3 A- F ^-bF + b^ F.
Somit ergeben sich für F und F die Differentialgleichungen:
/ F'2 = -aF-2 6F2 + 61 J3-2A
( 0'2 = a F - 26 F ff- br F - 2 7c F.
Hieräus bestimmen sich F, F als elliptische Funktionen von u ff- v
bzw. u — v und es bilden dann die beiden Kurvenscharen1):
1 dF p dF
ff- / , — - . . —const.,
J/(F+y)(-a-2öF+&1j?3-2.Ä;.F’4) J \7 (_a-2b
wo y eine willkürliche Konstante ist, ein geodätisches rhombisches
Netz.
) Vgl. dazu A. Voss, 1. c. Sitzungsberichte d. bayr. Akad. 1906 S. 269f.
Hieraus ergibt sich durch Differentiation der ersten Gleichung: und
Vergleichung; mit der zweiten:
ax = — .6.
In ganz derselben Weise findet man:
q = d.
Endlich erfordert das Erfülltsein der Gleichung (62):
dx = 61( a = — c, c± = — b, d = av
Man zeigt nun leicht, daß die so erhaltenen sechs Beziehungen zwischen
den Koeffizienten a, b, c, d nicht unabhängig voneinander sind.
Denn aus:
b = — alf q = d, d = ax
folgt:
q = - b.
Es bleiben also drei Konstanten, etwa a, b, b±, willkürlich und wir
erhalten :
„ J1'2 , F'2
F —3. + kF=a + bF, F" - + 3 k F3 = ~ b F+^F2,
„ F2 F2
F"- %~+kF=a+bF, F' -1- -V + 3 A- F ^-bF + b^ F.
Somit ergeben sich für F und F die Differentialgleichungen:
/ F'2 = -aF-2 6F2 + 61 J3-2A
( 0'2 = a F - 26 F ff- br F - 2 7c F.
Hieräus bestimmen sich F, F als elliptische Funktionen von u ff- v
bzw. u — v und es bilden dann die beiden Kurvenscharen1):
1 dF p dF
ff- / , — - . . —const.,
J/(F+y)(-a-2öF+&1j?3-2.Ä;.F’4) J \7 (_a-2b
wo y eine willkürliche Konstante ist, ein geodätisches rhombisches
Netz.
) Vgl. dazu A. Voss, 1. c. Sitzungsberichte d. bayr. Akad. 1906 S. 269f.