Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Ernst Roeser:

Im

endlich die dritte Gleichung, indem h zweimal ausgedrückt

(3)

sh h — sh a ch m = sh b • ch Z
sh a : shb = chl: ch m

(2)
Und
wird:

7 fh h 7 th h
ch Ci — z dii) — 7 7
1 tha ’ z thl)
cos v = sh a sh b ch c — cha ch b th?h —
chzh
cos v = sh a sh b ehe — ch a ch b

7 7 • cha
cos ■-= sha sh c1- sin = --
cos v2 —shb shc2; sinv2=c~^ also:
cos v — sha sh b sh c-, sh c2 — b
— sh a sh b ehe — sh a sh b • ch c, cA c9 — cll,a'
1 - ch2h
Spitzeck ist:

Wendet man diese drei Gleichungen auf ein Fünfeck an, bei dem
die Seiten a und b durch a' und b', der Winkel v durch n — v ersetzt
ist, und führt für a und b' wieder die komplementären Strecken a und
b ein, für 1 und m die Parallelwinkel X und /z, so erhält man die
Gleichungen :
(4) cos v — — cos /z cos 2 + sin ta sin z ch c
(5) ch c = ch a • chb — sh a sh b cos v
(6) sh a : sh b = sin X : sin ta

Das sind aber dieselben Gleichungen, wie sie zwischen den Stücken
eines Dreiecks mit den Seiten a, b, c und den Winkeln 2, /z, v bestehen.
Somit folgt der Satz:
Zu jedem Dreieck a b c 2 /z r gehört ein vierrechtwink-
liges Fünfeck mit den Seiten c a b'm l und dem von m und Z
eingeschlossenen spitzen oder stumpfen Winkel n — v, Z liegt
a' gegenüber. Außerdem gibt es noch zwei Fünfecke mit
den Winkeln tc — 2, Ti — p, und den entsprechenden Seiten.
Geht man zum rechtwinkligen Dreieck über, indem man r = werden
läßt, so entstehen aus den Gleichungen 1 und 2 die neuen:
(7) ch c = sh m • sh Z
(8) ehe — eth a ■ eth b
Es ergibt sich daher der Satz:
Zu jedem rechtwinkligen Dreieck gehört ein Fünfeck
mit lauter rechten Winkeln, dessen eine Seite gleich der