Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zu den Newton sehen Formeln für die Potenzsummen
der Wurzeln einer Gleichung.
Von Samson Breuer in Karlsruhe.

1 Sind x-,, x9, ... x., x Unbestimmte, und werden ihre Potenz-
i7 & 7 v > n
summen und ihre symmetrischen Grundfunktionen mit
n -
(l) u = s^’bzw- (—
1
bezeichnet, so ist bekanntlich
(2a) sxd-sx_1 aL + sy_2 a.2 + 0^ + ... + sx aK _ x -f- yay = 0
(0 < x n) ,
(2b) sx + sx-.1a1 + sx_2a2 + ... + sx_jMajU + •■• + aw_x +
und diese Identitäten haben an sich nichts mit der Theorie der
Gleichungen zu tun, setzen insbesondere nicht den Fundamentalsatz der
Algebra voraus; bei ihrem Beweise ist hierauf zu achten. Bei Euler
finden sich nun für die Formeln (2) zwei Beweise1), deren zweiter
von Kronecker stets als „besonders scharfsinnig und elegant“ bezeichnet
worden ist.2) Der Beweis hat jedoch im Gegensatz zu dieser Äuße-
rung zwei Lücken, auf die hier kurz hingewiesen sei.
Euler gibt zunächst den bekannten Beweis für (2 b), der sich mit
unbedeutender Änderung des Ausdruckes folgendermaßen einwandfrei
formulieren läßt. Bezeichnet man die Polynome
(3) x-\-atxv 1-{-...-}-ayxv *-{-...^av_1x+avmitfv(x),(v=l,2,...,n')
so ist nach (1)
(4) GG) = (a? —ajj (x — x2) .... (x — xj,
n
mithin G (U) = 0 und auch x\~n/n(xi) = 0, womit (2 b) bewiesen
i
ist. Zum Beweise von (2 a) betrachtet Euler dann die sämtlichen
0 Demonstratio gemina theorematis Neutoniani etc. Opuscula varii argu-
mentii 2, 1750; Opera omnia 1,6, p. 20—30.
-) Opera omnia J, 6. Vorwort S. XIII.