Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Verallgemeinerung eines von Herrn A. Loewy
stammenden Reziprozitätssatzes für algebraische
Gleichungen.
Von Friedrich Karl Schmidt in Freiburg i.B.
In der Arbeit: „Über die Reduktion algebraischer Gleichungen
durch Adjunktion insbesondere reeller Radikale“ Ü hat Herr A. Loewy
nachstehenden Reziprozitätssatz für die gegenseitige Reduktion zweier
algebraischer Gleichungen mit Koeffizienten aus einem Zahlkörper auf-
gestellt:
„A (x) und B (x) seien zwei im Rationalitätsbereich P irreduzible
ganze Funktionen der Grade a und b, die gleich 0 gesetzt, die Wurzeln
av a2, ...aa bzw. ßL, ß2, .. ., ßb besitzen. Unter /L eine der Wurzeln
von B (&) = 0 verstanden, sei Alx(a;; ßß eine im erweiterten Rationali-
tätsbereich (P, ßß irreduzible ganze Funktion, die A(x) teilt. Dann
gilt die Zerlegung:
(1) c1A(xJv=A1{x-ßß-A^x- ßß •....• A^x- ßß-
hierbei bedeutet c1 eine Konstante aus dem Rationalitätsbereich P, und
der Exponent b' ergibt sich aus dem Grade a' von A1(x; ßß mittels
der Relation
(2) ab' = ba'.
Unter Benützung der irreduziblen Gleichung B(xß = 0, die ßr zur
Wurzel hat, schreibe man Ax (x; ßß) als ganze rationale Funktion
von />x und bilde dann Ax (ar-, x), indem man x durch ax und ßx durch
x ersetzt. Führt man Bx (a-^x) als größten gemeinsamen Teiler von
B (a?) und Ar (ax; x) ein, so ist der Grad von Z>x (ctx; x) die in der
Relation (2) auftretende Zahl b', weiter ist Bx (ax; x) eine im Ratio-
nalitätsbereiche (P, a x) irreduzible ganze Funktion, und es gilt schließ-
lich die zu (1) reziproke Zerlegung:
c2 B(x)a = B1 (ax; x) • B1(a2; x) ■ ..... • B1 (aa; x);
hierbei bedeutet c2 eine dem Rationalitätsbereich P angehörige Kon-
stante. Die in (1) auftretenden ganzen Funktionen J.x (x; ßß) (x = l,2,
.... b) können erklärt werden als größte gemeinsame Teiler von A (af)
und Bx (x; ßß); letztere Funktion wird erhalten, indem man Bx (ax; x~)
mittels der irreduziblen Gleichung A(x) = 0, der ax genügt, als ganze
rationale Funktion von ax schreibt und dann aus Z»x(ax; x) die ganze
J) Math. Zei’tschr. Bei. 15, S. 261—273.