Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Wolfgang Krull: Über Multiplikationsringe.

Hauptsatz der Multiplikationsringe. Ein Ring R ist dann
und nur dann Multiplikationsring, wenn er als ein-
deutige Summe endlich vieler regulärer Multipli-
kationsringe und endlich vieler spezieller zerlegbarer
Ringe darstellbar ist.
Hinsichtlich der Bedeutung des Hauptsatzes sei noch folgendes
bemerkt: Daß durch ihn der allgemeinste Multiplikationsring auf be-
kannte Ringtypen zurückgeführt wird, wurde bereits oben hervor-
gehoben. Wodurch ist aber der Typus der Multiplikationsringe an
und für sich interessant?
Vom Standpunkt der abstrakten Ringtheorie aus liegt die Forde-
rung nahe, eine Ringklasse immer durch die Eigenschaften der Ideale,
nicht aber durch Eigenschaften der Elemente zu charakterisieren.
Unter diesem Gesichtspunkte erscheint die Einführung des Hauptideal-
ringtypus viel weniger naturgemäß als die des umfassenderen Multi-
plikationsringtypus; die Berechtigung des eingenommenen Standpunktes
zeigt sich dann darin, daß die Multiplikationsringe im wesentlichen
einen ebenso einfachen Aufbau wie die Hauptidealringe aufweisen.
Zugleich sehen wir, daß die bei idealtheoretischen Überlegungen beinahe
allein zu benützende Eigenschaft des Hauptideals darin besteht, daß
für ein Hauptideal ß stets die Bedingung b) erfüllt ist, also aus der
Kongruenz a = 0 (ß) die Gültigkeit einer Gleichung a = 1) • ß folgt.
So sind die Ergebnisse der vorliegenden Note wesentlich vom
axiomatischen Standpunkt aus interessant, während die Beschränkung
auf Hauptidealringe in H. den Vorteil bot, daß wir dort mit ganz
einfachen Überlegungen durchkommen konnten, und die Analogie mit
der elementaren Zahlentheorie nicht aus dem Gesicht verloren.