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https://doi.org/10.11588/diglit.43386#0020
20 Friedrich Karl Schmidt:
Funktion Bx (x-, ß } von x bildet, indem man ax durch x und x
durch ß ersetzt.“
. K
Dieser Satz soll im folgenden auf den allgemeinen Fall zweier
Gleichungen mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper (= Ratio-
nalitätsbereich) ausgedehnt werden. Dabei wird die von Herrn E. Stei-
nitz1) stammende Einteilung aller Körper in vollkommene und unvoll-
kommene von Bedeutung, d. h. in solche, die nur irreduzible Funk-
tionen mit einfachen Nullstellen enthalten, und solche, in denen auch
irreduzible Gleichungen mit mehrfachen Wurzeln vorkommen. Während
für vollkommene Körper die von Herrn A. Loewy gegebene Formulie-
rung des Satzes sowie der zugehörige Beweis ohne Änderung bestehen
bleiben können, sind bei unvollkommenen Körpern einige Modifikationen
erforderlich, die kurz angeführt werden sollen.
Wie aus den Untersuchungen des Herrn E. Steinitz hervorgeht,
ist der kleinste in einem unvollkommenen Körper ff enthaltene Unter-
körper dem Restklassensystem nach seiner Primzahl p isomorph, d. h.
ff ist von der Charakteristik p. Das einfachste Beispiel eines unvoll-
kommenen Körpers wird geliefert durch die Gesamtheit aller rationalen
Funktionen in einer Veränderlichen t mit Koeffizienten modulo p,
denn die in diesem Körper irreduzible Gleichung xp—1—0 hat nur
eine Wurzel, die p-mal zu zählen ist. Man sagt allgemein eine in
einem unvollkommenen Körper ff von der Charakteristik p irreduzible
Funktion nten Grades
/■ z x n , n— 1 i i
= -j-a1x +-..• + an
besitze den reduzierten Grad und den Exponenten v, wenn
n = n1-p' und jeder der in f(x) wirklich auftretenden Exponenten
von x durch p’, aber mindestens einer nicht durch p> ' 1 teilbar ist.
Die Gleichung f (x) = 0 hat dann n1 voneinander verschiedene Wurzeln
und zwar jede 7/-mal. Ist schließlich a ein Element, das in $ einer-
irreduziblen Gleichung vom reduzierten Grade und vom Exponen-
ten v genügt, so schreibt man auch a den reduzierten Grad und
den Exponenten v zu. Eine besondere Rolle spielen die irreduziblen
Funktionen bzw. Elemente vom Exponenten 0, die als irreduzible
Funktionen bzw. Elemente erster Art bezeichnet werden.
Unter Verwendung der angegebenen Begriffe hat Herr Steinitz
die Theorie der unvollkommenen Körper durchgeführt. Von seinen
Resultaten benutzen wir im folgenden zunächst nur den
„Satz: Ist ,
<p (x) = x + x + .... + an
b E. Steinitz, „ Algebraische Theorie der Körper“, Journ. f. d. r. und a. Math.
Bd. 137, S. 167-308.
Funktion Bx (x-, ß } von x bildet, indem man ax durch x und x
durch ß ersetzt.“
. K
Dieser Satz soll im folgenden auf den allgemeinen Fall zweier
Gleichungen mit Koeffizienten aus einem beliebigen Körper (= Ratio-
nalitätsbereich) ausgedehnt werden. Dabei wird die von Herrn E. Stei-
nitz1) stammende Einteilung aller Körper in vollkommene und unvoll-
kommene von Bedeutung, d. h. in solche, die nur irreduzible Funk-
tionen mit einfachen Nullstellen enthalten, und solche, in denen auch
irreduzible Gleichungen mit mehrfachen Wurzeln vorkommen. Während
für vollkommene Körper die von Herrn A. Loewy gegebene Formulie-
rung des Satzes sowie der zugehörige Beweis ohne Änderung bestehen
bleiben können, sind bei unvollkommenen Körpern einige Modifikationen
erforderlich, die kurz angeführt werden sollen.
Wie aus den Untersuchungen des Herrn E. Steinitz hervorgeht,
ist der kleinste in einem unvollkommenen Körper ff enthaltene Unter-
körper dem Restklassensystem nach seiner Primzahl p isomorph, d. h.
ff ist von der Charakteristik p. Das einfachste Beispiel eines unvoll-
kommenen Körpers wird geliefert durch die Gesamtheit aller rationalen
Funktionen in einer Veränderlichen t mit Koeffizienten modulo p,
denn die in diesem Körper irreduzible Gleichung xp—1—0 hat nur
eine Wurzel, die p-mal zu zählen ist. Man sagt allgemein eine in
einem unvollkommenen Körper ff von der Charakteristik p irreduzible
Funktion nten Grades
/■ z x n , n— 1 i i
= -j-a1x +-..• + an
besitze den reduzierten Grad und den Exponenten v, wenn
n = n1-p' und jeder der in f(x) wirklich auftretenden Exponenten
von x durch p’, aber mindestens einer nicht durch p> ' 1 teilbar ist.
Die Gleichung f (x) = 0 hat dann n1 voneinander verschiedene Wurzeln
und zwar jede 7/-mal. Ist schließlich a ein Element, das in $ einer-
irreduziblen Gleichung vom reduzierten Grade und vom Exponen-
ten v genügt, so schreibt man auch a den reduzierten Grad und
den Exponenten v zu. Eine besondere Rolle spielen die irreduziblen
Funktionen bzw. Elemente vom Exponenten 0, die als irreduzible
Funktionen bzw. Elemente erster Art bezeichnet werden.
Unter Verwendung der angegebenen Begriffe hat Herr Steinitz
die Theorie der unvollkommenen Körper durchgeführt. Von seinen
Resultaten benutzen wir im folgenden zunächst nur den
„Satz: Ist ,
<p (x) = x + x + .... + an
b E. Steinitz, „ Algebraische Theorie der Körper“, Journ. f. d. r. und a. Math.
Bd. 137, S. 167-308.