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https://doi.org/10.11588/diglit.43386#0004
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Samson Breuer:
Gleichungen fv (.r) — 0. Für die „Wurzeln“ jeder dieser Gleichungen
gilt nach dem eben Bewiesenen die Formel (2b) für z = v, ist also:
(5) Sv + Sv — 1 ai + SV—2 #2 4“ • •• ~b S1 1 + »' = 0.
Nun stimmen aber die Wurzeln einer jeden Gleichung fv (,r) = 0 mit
denen von /'H(a?) = 0, d. h. mit rq, x2, xn, in der Summe und in
den v ersten symmetrischen Grundfunktionen überein. Daraus folgt
aber, daß sie auch in den v ersten Potenzsummen übereinstimmen,
d. h., daß alle Formeln (5) auch für die Wurzeln von f (x) — 0 gelten,
womit (2 a) bewiesen ist. „Hic scilicet assumo, quod facile concedetur,
summam quadratorum per summam radicum et summam productorum
ex binis determinari; summam cuborum autem praeterea requirere sum-
mam factorum ex ternis radicibus; ac summam biquadratorum prae-
terea summam factorum ex quaternis radicibus, et ita porro; quod
quidem demonstratu non esset difficile“ (a. a. O. § 14).
Die Lücken dieses Beweises liegen aber auf der Hand. Nicht
nur enthält die stillschweigend gemachte Voraussetzung, daß alle
Gleichungen fv (p) = 0 Wurzeln, und zwar genau v an der Zahl, be-
sitzen, jedenfalls mehr als das, „quod statim ab initio in explicatione
naturae aequationum tradi solet“ (a. a. O. § 4), sondern der oben zitierte,
von uns gesperrte Satz setzt den ganzen Gegenstand des Beweises
bereits als bewiesen voraus; denn es müßte ja gezeigt werden, daß sK
sich allgemein, unabhängig von der Zahl der Unbestimmten, durch
die av und die niedrigeren Potenzsummen allein ausdrücken läßt. Das
Ganze erscheint um so auffälliger, als die nämlichen beiden Fehler in
einer anderen Abhandlung Eulers x) nochmals auftreten, in der die
Potenzsummen der Größen a, ß, y, ö etc. gesucht werden, wenn ge-
geben ist:
l+A^d-Bz* 2 + CF3+Z)HH-etc.=--(l + a<2’) (1-J-^) (1 + yU (1+ p) • etc. —
Der hier besprochene zweite Euler sehe Beweis wird von Junge
in seiner Dissertation (Gießen)2) ohne Kritik gekürzt wiedergegeben
(8.53). Die daselbst (S. 52, Fußnote 9) erwähnte „Nacherfindung“
dieses Beweises von Laisant 3) enthält in der Tat eine genaue V ieder-
gabe des Euler sehen Beweises, ohne dessen Fehler zu vermeiden.
Denn auch die „Remarque“ auf S. 514, die dem Vorwurf eines „defaut
de rigueur“ begegnen soll, zeigt nur, daß sx keine gebrochene Funktion
9 Opuscula analytica I, 1783. p. 337—340, zitiert in Opera omnia I 6, p. 20,
Fußnote 1.
2) Zur Hauptaufgabe der symmetrischen Funktionen, Berlin 1917.
3) Nouv. ann. de math. Serie 4, Band 5, 1905, S. 512—514.
Samson Breuer:
Gleichungen fv (.r) — 0. Für die „Wurzeln“ jeder dieser Gleichungen
gilt nach dem eben Bewiesenen die Formel (2b) für z = v, ist also:
(5) Sv + Sv — 1 ai + SV—2 #2 4“ • •• ~b S1 1 + »' = 0.
Nun stimmen aber die Wurzeln einer jeden Gleichung fv (,r) = 0 mit
denen von /'H(a?) = 0, d. h. mit rq, x2, xn, in der Summe und in
den v ersten symmetrischen Grundfunktionen überein. Daraus folgt
aber, daß sie auch in den v ersten Potenzsummen übereinstimmen,
d. h., daß alle Formeln (5) auch für die Wurzeln von f (x) — 0 gelten,
womit (2 a) bewiesen ist. „Hic scilicet assumo, quod facile concedetur,
summam quadratorum per summam radicum et summam productorum
ex binis determinari; summam cuborum autem praeterea requirere sum-
mam factorum ex ternis radicibus; ac summam biquadratorum prae-
terea summam factorum ex quaternis radicibus, et ita porro; quod
quidem demonstratu non esset difficile“ (a. a. O. § 14).
Die Lücken dieses Beweises liegen aber auf der Hand. Nicht
nur enthält die stillschweigend gemachte Voraussetzung, daß alle
Gleichungen fv (p) = 0 Wurzeln, und zwar genau v an der Zahl, be-
sitzen, jedenfalls mehr als das, „quod statim ab initio in explicatione
naturae aequationum tradi solet“ (a. a. O. § 4), sondern der oben zitierte,
von uns gesperrte Satz setzt den ganzen Gegenstand des Beweises
bereits als bewiesen voraus; denn es müßte ja gezeigt werden, daß sK
sich allgemein, unabhängig von der Zahl der Unbestimmten, durch
die av und die niedrigeren Potenzsummen allein ausdrücken läßt. Das
Ganze erscheint um so auffälliger, als die nämlichen beiden Fehler in
einer anderen Abhandlung Eulers x) nochmals auftreten, in der die
Potenzsummen der Größen a, ß, y, ö etc. gesucht werden, wenn ge-
geben ist:
l+A^d-Bz* 2 + CF3+Z)HH-etc.=--(l + a<2’) (1-J-^) (1 + yU (1+ p) • etc. —
Der hier besprochene zweite Euler sehe Beweis wird von Junge
in seiner Dissertation (Gießen)2) ohne Kritik gekürzt wiedergegeben
(8.53). Die daselbst (S. 52, Fußnote 9) erwähnte „Nacherfindung“
dieses Beweises von Laisant 3) enthält in der Tat eine genaue V ieder-
gabe des Euler sehen Beweises, ohne dessen Fehler zu vermeiden.
Denn auch die „Remarque“ auf S. 514, die dem Vorwurf eines „defaut
de rigueur“ begegnen soll, zeigt nur, daß sx keine gebrochene Funktion
9 Opuscula analytica I, 1783. p. 337—340, zitiert in Opera omnia I 6, p. 20,
Fußnote 1.
2) Zur Hauptaufgabe der symmetrischen Funktionen, Berlin 1917.
3) Nouv. ann. de math. Serie 4, Band 5, 1905, S. 512—514.