Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Theorie der metazyklischen Gleichungen
von Primzahlgrad.
Von Samson Breuer in Karlsruhe.

1. Zu einer zyklischen Gleichung n-ten Grades f(x) = 0 mit den
Wurzeln a0, ax, av, an_i kann man bekanntlich stets eine rationale
Funktion 0(u) angeben derart, daß
av+1=@(a„) (v = 0, 1, n —1)
wird, wobei die Indizes nötigenfalls (mod. n) zu reduzieren sind; und
zwar läßt sich in einfachster Weise darstellen

(1)

0(w)

_ f(u) '’Vg Qr + 1 )
~ /'(«) «-a„

oder auch als ganze Funktion n—1-ten Grades in der Form

(2)

0 (u) = f(u)

rJ-i_
o r f K) •

Die rechten Seiten beider Formeln dulden die Vertauschung (ct0,
an—i) un(t sind also „rational“.
Ganz wie hier die Darstellung von 0(z<) und 0(u) durch An-
wendung der Interpolationsformel von Lagrange gewonnen wird, ganz
ebenso kann man in dem allgemeineren Falle einer Gleichung von Prim-
zahlgrad mit metazyklischer Gruppe eine Funktion v) kon-
struieren, die — entsprechend dem „Satze von Galois“ — gestattet,
eine Wurzel dieser Gleichung als rationale Funktion zweier anderer
darzustellen. Hierzu dient die nachstehende Verallgemeinerung der
Interpolationsformel von Lagrange, die der Verfasser noch
nirgends angegeben fand. Ist nämlich eine rationale Funktion zweier
Veränderlicher F(u, v) gesucht, die in den Punkten
(Mi> (i= 1,2, x = 1,2,....,%)
eines ebenen Gitters vorgeschriebene Werte annimmt, so be-
zeichnen wir

(u — u^ (u—u^ — (v—(v—v2)...(v—rJ = y>(F),
und setzen

’) Vgl. etwa Weber, Lehrbuch der Algebra I (1898), S. 582.