Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Miiltiplikationsringe. 0
Von Wolfgang Krull in Freiburg i. B.
Im folgenden soll kurz eine Verallgemeinerung der Ergebnisse
meiner früheren Abhandlung H. auseinandergesetzt werden, die damals
zur Vereinfachung des Beweisganges weggelassen wurde, obwohl sie
vom axiomatischen Standpunkt aus sicher einiges Interesse besitzt.
Das Hauptergebnis von H. lautete: Jeder Hauptidealring stellt
die eindeutige Summe von endlich viel Ringen vom Typus
der ganzen Zahlen, sowie von endlich vielen speziellen
zerlegbaren Ringen dar. Zu einer Verallgemeinerung dieses Er-
gebnisses gelangen wir durch folgende Überlegung: Bei unsern Beweisen
haben wir von den Eigenschaften eines Hauptidealrings wesentlich die
folgenden beiden benutzt:
a) Es gilt der Satz von der endlichen Kette.* 2)
b) Ist a durch b im Idealsinn teilbar, so ist es durch b
auch im Produktsinn teilbar, d. h. aus der Beziehung
U = 0 (b) folgt die Existenz eines Ideals b, das der
Gleichung u = b-b genügt.
Außer diesen beiden charakteristischen Eigenschaften benutzten
wir nur noch bei einigen wenigen, später zu bezeichnenden Rechnungen
die Eigenschaft des Hauptideals, eine einelementige Basis zu besitzen;
und schließlich steckt der Hauptidealbegriff in der Definition des Rings
vom Typus der ganzen Zahlen.3) Wir gelangen nun zu einer Ver-
allgemeinerung des Hauptsatzes von H., indem wir zunächst an Stelle
der Ringe vom Typus der ganzen Zahlen eine umfassendere, aber
gleichfalls in gewisser Hinsicht wohlbekannte Ringklasse einführen, und
dann nachweisen, daß die oben erwähnten Rechnungen so umgestaltet
werden können, daß zu ihrer Durchführung nur die Vor. a) und b),
nicht die Hauptidealeigenschaft aller auftretenden Ideale nötig sind.
B Agl. die an derselben Stelle (Abt. A, Jahrgang 1924, 6. Abhand-
lung) erschienene Arbeit: „Über die verschiedenen Arten der Haupt-
idealringe“, die im folgenden kurz mit „H.“ bezeichnet werden soll. Die
Kenntnis von H. wird in der vorliegenden Note, die nur eine Ergänzung dar-
stellt, vorausgesetzt.
2) Vgl. H. § 2 p. 6f.
3) Vgl. H. § 4, p. 15, sowie § 2 p. 9.