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https://doi.org/10.11588/diglit.43386#0014
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Wolfgang Krull:
Wir wollen einen RingR1) als „regulären Multipli-
kationsring“ bezeichnen, wenn er 1. außer 0 keine Null-
teiler enthält, wenn also (0) das einzige nichtreguläre Ideal
aus R ist, und wenn 2. jedes reguläre Ideal aus R als ein-
deutiges Produkt von Primidealpotenzen dargestellt wer-
den kann.
Ein regulärer Multiplikationsring besitzt hinsichtlich der multipli-
kativen Verknüpfung seiner Ideale dieselben Eigenschaften wie der
Ring aller ganzen algebraischen Zahlen eines endlichen algebraischen
Zahlkörpers; wir hätten ihn auch nach dieser Analogie benannt, wenn
die Bezeichnung nicht zu umständlich geworden wäre. Daß ferner
ein regulärer Multiplikationsring den Bedingungen a) und b) ge-
nügt, ist unmittelbar einzusehen; denn einerseits besitzt das reguläre
Ideal a= nur c^e endlich vielen verschiedenen Teiler 77 pj";
Im Gegensatz zum regulären Multiplikationsring wollen
wir nun noch unter einem „allgemeinen Multiplikationsring“
einen Ringbereich verstehen, der nur den Bedingungen a)
und b) zu genügen braucht. Bei Benutzung dieser Bezeichnungs-
weise können wir dann das folgende Theorem ableiten:
Jeder allgemeine Multiplikationsring läßt sich als ein-
deutige Summe von endlich viel regulären Multiplikations-
ringen, sowie von endlich viel speziellen zerlegbaren Ringen
darstellen.
Wir bemerken zunächst, daß in einem Multiplikationsring
jedes Ideal eine endliche Basis besitzt.
In der Tat, wäre diese Vor. etwa für n unzutreffend, so könnte
man aus a eine ins Unendliche laufende Elementefolge alf a2,
derart herausgreifen, so daß allgemein a?. = («j, a2,.... a^) ein echter
Teiler von = («i, a2, G-i) würde, man käme also zu einem
Widerspruch gegen den Satz von der endlichen Kette. Auf Grund
der Existenz der endlichen Idealbasis können wir nun weiter folgenden,
für unsre Verallgemeinerung wesentlichen Hilfssatz ableiten:
x) Unter einem Ring soll, genau wie in H., stets ein Ring mit Einheits-
eiern ent verstanden werden.
2) Ist etwa — 0, so ist pf* = o zu setzen, so daß der betr. Faktor einfach
weggelassen werden kann. (Wegen der Existenz des universellen Einheits-
elementes rg ist ja hier stets a ■ o = a.)
Wolfgang Krull:
Wir wollen einen RingR1) als „regulären Multipli-
kationsring“ bezeichnen, wenn er 1. außer 0 keine Null-
teiler enthält, wenn also (0) das einzige nichtreguläre Ideal
aus R ist, und wenn 2. jedes reguläre Ideal aus R als ein-
deutiges Produkt von Primidealpotenzen dargestellt wer-
den kann.
Ein regulärer Multiplikationsring besitzt hinsichtlich der multipli-
kativen Verknüpfung seiner Ideale dieselben Eigenschaften wie der
Ring aller ganzen algebraischen Zahlen eines endlichen algebraischen
Zahlkörpers; wir hätten ihn auch nach dieser Analogie benannt, wenn
die Bezeichnung nicht zu umständlich geworden wäre. Daß ferner
ein regulärer Multiplikationsring den Bedingungen a) und b) ge-
nügt, ist unmittelbar einzusehen; denn einerseits besitzt das reguläre
Ideal a= nur c^e endlich vielen verschiedenen Teiler 77 pj";
Im Gegensatz zum regulären Multiplikationsring wollen
wir nun noch unter einem „allgemeinen Multiplikationsring“
einen Ringbereich verstehen, der nur den Bedingungen a)
und b) zu genügen braucht. Bei Benutzung dieser Bezeichnungs-
weise können wir dann das folgende Theorem ableiten:
Jeder allgemeine Multiplikationsring läßt sich als ein-
deutige Summe von endlich viel regulären Multiplikations-
ringen, sowie von endlich viel speziellen zerlegbaren Ringen
darstellen.
Wir bemerken zunächst, daß in einem Multiplikationsring
jedes Ideal eine endliche Basis besitzt.
In der Tat, wäre diese Vor. etwa für n unzutreffend, so könnte
man aus a eine ins Unendliche laufende Elementefolge alf a2,
derart herausgreifen, so daß allgemein a?. = («j, a2,.... a^) ein echter
Teiler von = («i, a2, G-i) würde, man käme also zu einem
Widerspruch gegen den Satz von der endlichen Kette. Auf Grund
der Existenz der endlichen Idealbasis können wir nun weiter folgenden,
für unsre Verallgemeinerung wesentlichen Hilfssatz ableiten:
x) Unter einem Ring soll, genau wie in H., stets ein Ring mit Einheits-
eiern ent verstanden werden.
2) Ist etwa — 0, so ist pf* = o zu setzen, so daß der betr. Faktor einfach
weggelassen werden kann. (Wegen der Existenz des universellen Einheits-
elementes rg ist ja hier stets a ■ o = a.)