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https://doi.org/10.11588/diglit.43386#0015
Über Multiplikationsringe.
15
Hilfssatz. Bestellt in einem Multiplikationsring1) eine
Glei ch u n g a • b = ö, sogibt esein zubteilerfremdes2)
Ideal ü, das der Gleichung u • ü = (0) genügt.
In der Tat, es sei av a2, .... a eine endliche Basis von u. Dann
folgt aus der Gleichung a - 6 = a die Gültigkeit eines Gleichungssystems
n
a. = 2 b.7 a7 (i= 1,2 .... n\ bei dem die b., Elemente aus b sind,
und das sich mit Verwendung des Kronecker sehen Symbols
•_7, n
in der Form schreiben läßt. Aus
dem angeschriebenen System ergeben sich aber mit Hilfe elementarer
Determinantensätze für die Determinante ä — | bik—öik | (f, k = 1,2 .... n)
die n Gleichungen ä-cti — Q (« = 1,2....«). Setzen wir mithin ü = (ä),
so haben wir ä-Q=(0), und es ist dabei das Ideal ü zu b teilerfremd,
weil das Element ä die Summe von + re und einer Reihe durch b teil-
barer Elemente darstellt.3)
Durch den nunmehr voll bewiesenen Hilfssatz werden, wie jetzt
im einzelnen gezeigt werden soll, die in H. ausgeführten, mit der
Hauptidealeigenschaft arbeitenden Rechnungen überflüssig.
Was zunächst die in § 2 von H. abgeleiteten Sätze 1 und 2
angeht, so brauchen wir zu ihrem Beweis unter Vor. der Bedingungen
a) und b) wesentlich die Tatsache, das für reguläres a aus der
Gleichung a • b = a notwendig b = D folgt. Diese Tatsache wurde in
H. durch Rechnung bewiesen4), ergibt sich jetzt aber bei Beachtung
von Anmerkung 2 unmittelbar aus unserm Hilfssatz. Wir können
daher die Sätze 1 und 2 von H. unmittelbar auf allgemeine
Multiplikationsringe übertragen, und gelangen so ins-
besondere zu dem Ergebnis, daß jeder Multiplikations-
ring ohne von 0 verschiedene Nullteiler sicher ein regu-
lärer Multiplikationsring ist.
In § 3 von H. wurde nur an einer Stelle mit Elementen gerechnet,
nämlich zum Nachweis der Tatsache, daß für ein Nullteilerprimideal p
die Gleichung p<? = p'*nur dann bestehen kann, wenn es ein durch
p unteilbares Ideal p gibt, das der Gleichung p • p = (0) genügt. Da
Oder auch: „in einem Ring, in dem der Satz von der endlichen Kette
allgemein gilt“.
2) Wir erinnern an die Definition der Teilerfremdheit: a und t> teilerfremd,
wenn (a,t>) = o. Daraus folgt insbesondere, daß o zu jedem Ideal teilerfremd
ist, und daß aus den Beziehungen (a, fr) — o; a = 0 (b) notwendig b = Q folgt.
(Anwendung dieser letzteren Tatsache vor allem für a = (0).)
3) Man entwickle j bik — , nach elementaren Determinantensätzen!
4J § 2 p. 7 Hilfssatz. Dort ist die betr. Tatsache für Elemente formuliert.
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Hilfssatz. Bestellt in einem Multiplikationsring1) eine
Glei ch u n g a • b = ö, sogibt esein zubteilerfremdes2)
Ideal ü, das der Gleichung u • ü = (0) genügt.
In der Tat, es sei av a2, .... a eine endliche Basis von u. Dann
folgt aus der Gleichung a - 6 = a die Gültigkeit eines Gleichungssystems
n
a. = 2 b.7 a7 (i= 1,2 .... n\ bei dem die b., Elemente aus b sind,
und das sich mit Verwendung des Kronecker sehen Symbols
•_7, n
in der Form schreiben läßt. Aus
dem angeschriebenen System ergeben sich aber mit Hilfe elementarer
Determinantensätze für die Determinante ä — | bik—öik | (f, k = 1,2 .... n)
die n Gleichungen ä-cti — Q (« = 1,2....«). Setzen wir mithin ü = (ä),
so haben wir ä-Q=(0), und es ist dabei das Ideal ü zu b teilerfremd,
weil das Element ä die Summe von + re und einer Reihe durch b teil-
barer Elemente darstellt.3)
Durch den nunmehr voll bewiesenen Hilfssatz werden, wie jetzt
im einzelnen gezeigt werden soll, die in H. ausgeführten, mit der
Hauptidealeigenschaft arbeitenden Rechnungen überflüssig.
Was zunächst die in § 2 von H. abgeleiteten Sätze 1 und 2
angeht, so brauchen wir zu ihrem Beweis unter Vor. der Bedingungen
a) und b) wesentlich die Tatsache, das für reguläres a aus der
Gleichung a • b = a notwendig b = D folgt. Diese Tatsache wurde in
H. durch Rechnung bewiesen4), ergibt sich jetzt aber bei Beachtung
von Anmerkung 2 unmittelbar aus unserm Hilfssatz. Wir können
daher die Sätze 1 und 2 von H. unmittelbar auf allgemeine
Multiplikationsringe übertragen, und gelangen so ins-
besondere zu dem Ergebnis, daß jeder Multiplikations-
ring ohne von 0 verschiedene Nullteiler sicher ein regu-
lärer Multiplikationsring ist.
In § 3 von H. wurde nur an einer Stelle mit Elementen gerechnet,
nämlich zum Nachweis der Tatsache, daß für ein Nullteilerprimideal p
die Gleichung p<? = p'*nur dann bestehen kann, wenn es ein durch
p unteilbares Ideal p gibt, das der Gleichung p • p = (0) genügt. Da
Oder auch: „in einem Ring, in dem der Satz von der endlichen Kette
allgemein gilt“.
2) Wir erinnern an die Definition der Teilerfremdheit: a und t> teilerfremd,
wenn (a,t>) = o. Daraus folgt insbesondere, daß o zu jedem Ideal teilerfremd
ist, und daß aus den Beziehungen (a, fr) — o; a = 0 (b) notwendig b = Q folgt.
(Anwendung dieser letzteren Tatsache vor allem für a = (0).)
3) Man entwickle j bik — , nach elementaren Determinantensätzen!
4J § 2 p. 7 Hilfssatz. Dort ist die betr. Tatsache für Elemente formuliert.