Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Multiplikationsringe.

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Wir haben nun schließlich noch nachzuweisen, daß ein
spezieller Multiplikationsring Bv in dem das Nullteilerprim-
ideal p von (0) verschieden ist, kein von o verschiedenes
reguläres Ideal, also außer Nullteilern nur Einheiten enthält.
In der Tat, es sei I irgendein reguläres Ideal aus Bx; dann be-
steht nach H. § 4 die Idealgleichung p = r-p, es ist also sicher p
durch r teilbar. Ferner muß es nach dem Hilfssatz dieser Note ein
Ideal p geben, das den beiden Gleichungen p-p = (O); (r, p) = o Ge-
nüge leistet. Dieses Ideal ist hier wegen p 4 (0) ein Nullteilerideal,
also durch p und mithin auch durch r teilbar. Aus den beiden Be-
ziehungen (r, p) = o; p he 0 (r) folgt aber unmittelbar r = o.
Fassen wir alle nunmehr gewonnenen Ergebnisse zusammen, so
erkennen wir, daß die speziellen Multiplikationsringe tatsächlich ent-
weder reguläre Multiplikationsringe oder spezielle zerlegbare Hinge
sind. Damit ist die Verallgemeinerung unseres Hauptsatzes
auf Multiplikationsringe durchgeführt. Um das Ergebnis noch
etwas zu verschärfen, stellen wir folgende Überlegung an:
Es sei R ein Ring, der nach dem Schema von H. § 3 Satz 9
eindeutig additiv in n Komponentenringe B^\ B^, .... zerlegt
ist, wobei die besondere Natur von R, B(1\ B(2\ .... _R(n) zunächst
ganz gleichgültig ist. Bezeichnen wir dann mit q(i) dasjenige Ideal,
dessen Elemente den Ring Bw bilden, mit o das Einheitsideal aus R,
so gelten nach H., § 3 die Gleichungen: q(2), • ... q(w)) = o;
q^' ü = {(0) Grund dieser Tatsache lassen sich die Ideale
aus R ganz ähnlich wie die Elemente in Komponenten zerlegen. Ist
nämlich u ein bei. Ideal aus R, so soll a ■ q(i) als die iB. Komponente
von a bezeichnet werden. Diese Komponente stellt dann ein Ideal
aus BiB> dar, und es ist ersichtlich jedes Ideal gleich dem größten
gemeinschaftlichen Teiler seiner Komponenten. Des weiteren ist die
iB Komponente von a • b gleich dem Produkt der Komponente
von a mit derjenigen von b und es ist a dann und nur dann durch b
teilbar, wenn für jedes i die P® Komponente von a durch die ent-
sprechende Komponente von b teilbar ist.
Auf Grund dieser Komponentenzerlegung der Ideale ergibt sich
aber leicht, daß R den Bedingungen a) und b) genügt, falls das gleiche
von B^, BS2\ ... gilt. Ein Ring, der sich als eindeutige
Summe von endlich viel Multiplikationsringen darstellen
läßt, ist also selbst ein Multiplikationsring.
Fassen wir die eben abgeleitete Tatsache und das früher ge-
wonnene Resultat zusammen, so können wir feststellen: