Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

'Verallgemeinerung eines von A. Loewy stammenden Reziprozitätssatzes usw. 25
stelle fortfällt. Das Bestehen der Kongruenz D2 M, (x; ßxP 0
( M1 (x-,ßAp ist somit in der Tat ausgeschlossen, d. h. es ist
2IT.J (aj x} 0 (ATX (ax; a;)2), und unser Satz ist in allen Stücken
bewiesen.
Zum Schluß sei bemerkt, daß sich auf Grund der eben hergeleiteten
Tatsachen auch der zweite von Herrn A. Loewy in der genannten Ar-
beit aufgestellte Reziprositätssatz auf algebraische Gleichungen in be-
liebigen Körpern übertragen läßt. In der Fassung des Herrn A. Loewy
sagt dieser Satz aus, daß die in einem (aus Zahlen bestehenden) Ra-
tionalitätsbereich P irreduziblen Funktionen A (x) und Z> (a;), die bzw.
a und ß zu Nullstellen haben, im erweiterten Rationalitätsbereich (P, ß)
bzw. (P, et) in gleichviele irreduzible Faktoren zerfallen:
A (x) = Ar (x; ß) ■ A2 (x; ß) ■ • Ax (x; ß)
B (a;) = Bx (et; x) • B2 (et; x) • • B^ (et; x),
und daß wie früher Bi (et; x) = (B (a;), Ai (et; x\) bzw. Ai (x; ß') -
(A(x),Bi(x;ß')) gesetzt werden kann. Für irreduzible Funktionen
in einen beliebigen Körper $ gilt der zitierte Satz nun wörtlich ebenso,
doch brauchen die bei der Zerlegung im Erweiterungskörper auftreten-
den Faktoren, falls ß unvollkommen und von der Charakteristik p ist,
nicht alle teilerfremd zu sein, vielmehr kann ein irreduzibler Faktor
in einer Vielfachheit auftreten, die stets eine Potenz von p ist. Der
ihm bei der reziproken Zerlegung der zweiten irreduziblen Funktion
entsprechende Faktor kommt dann ebensooft vor.
Satz 2: Zwei in einem unvollkommenen Körper $ von
der Charakteristik p irreduzible Funktionen M(x) und
N (x), die durch a bzw. ß annulliert werden, zerfallen im
Erweiterungskörper $ (et) bzw. $(/?) in gleichvielc irreduzible
Funktionen, und zwar haben die Zerlegungen die Gestalt:
M (a;) = («; ß)p81. M2 (x- ß}p8i - ..... • Ma (x; ßf°,
bzw: N(x)=N1 (a;a?) p8'-N2 (a;x)p8'2-.• Na (a; x)p8°,
wo die AL (x-ß) b zw. Ni (a; x) jeweils untereinander teiler-
fremd sind, und Ni (et; x) durch (V(a;); AL (a; x) bzw. AL (x; ß)
durch (AL (a;), N\ (a;; ß^ erklärt werden kann.
Den Satz des Herrn A. Loewy erhält man hieraus wiederum
für q i — 0.
Beweis: Versteht man wie früher unter ß1 = ß,ß2, ,ßn die
voneinander verschiedenen Wurzeln von N (a:) = 0, so können für
i k AL (et; x) und ATk (a; x) nicht durch dasselbe ßc annulliert