Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Friedrich Karl Schmidt:

Potenz von (ct-j x') teilbar ist.1) Ist jedoch v' <4 v, was wir im
folgenden annehmen wollen, so müssen wir noch beweisen, daß
(ax, x) + 0 (N\ (ctx; x)2) ist.
Wir bemerken zunächst, daß man ebenso wie für irreduzible
Funktionen auch für beliebige zerlegbare Funktionen den Begriff des
Exponenten erklären kann. Sei nun der Exponent von M1(a1;x)
= ^i(a1;xp 9’ Dann ist sicher vß^v'-ßl. Nehmen wir nämlich
an, es sei rx>r'+l, also M1(x;ß1) Funktion von ' , so ge-
nügte offenbar a/ einer irreduziblen Gleichung erster Art in
während erst in bezug auf V von erster Art ist. Betrachten wir
zunächst diejenige Erweiterung erster Art von $, die zur Zerfällung
von in Faktoren der Form xp‘ —ap‘ gerade hinreicht und ad-
V
jungieren dann noch ßp , so ist der konstruierte Gesamterweiterungs-
körper von erster Art und enthält sowohl die Funktion [g (rc)]2’1 \
die d1 in V (ßp ) annulliert, als auch die Funktion xv^—api , somit
auch xpf/ —apfl = ([g (a?)],2” xv‘ — ap‘ ). Das ist aber unmög-
lich, weil eine Erweiterung erster Art keine Wurzelelemente ent-
halten kann. Es ist also in der Tat v'x^vr und aus der Annahme
J4X (ax; x) 0 (N1 (ax; x}2) folgt daher, daß — wenn xv — y ge-
7;'l
setzt wird — die Funktion M, (ctx; y) die Nullstelle ßx p mindestens
zweimal besitzt, somit auch D2M1(a1,ß1p ) = 0 ist, wobei man
unter dem vorgesetzten Zeichen D2 die Ableitung nach der zweiten
Argumentstelle verstehen möge. D2 M, (rr;./5x 7J hat infolgedessen
mit M, (x; ß x p ’) die Wurzel ax gemeinsam, das heißt, es ist
D2 Mj (x-, ßxp 9=0 (^M] ’)^). Diese letzte Kongruenz
schließt aber einen Widerspruch in sich. Da nämlich Mx (apj/) nicht
Funktion von yp ist, kann D2 Mx (ax; y) nur identisch verschwinden,
wenn M, (a x; y) von y unabhängig ist. Dies ist sicher nicht der Fall,
weil sonst Mx ßx’, ßß) Funktion in und JF(x) entgegen der Voraus-
setzung in $ zerlegbar wäre.« Es ist also D2 M, ß XP ’) 4 0.
Andererseits ist der Grad von D2 (x; ßp ') in x kleiner als der
Grad von M] (a;; ßxP 9> da uach unserer Annahme in Mx (#; ßxp )
der Koeffizient des Gliedes höchster Potenz in X gleich 1 ist und da-
her dieses Glied bei der Differentiation nach der zweiten Argument-

’) Da für vollkommene Körper stets v = / = 0 ist, ist in dem oben Ge-
sagten der Beweis des Satzes für vollkommene Körper enthalten.