Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Verallgemeinerung eines von A. Loewy stammenden Reziprozitätssatzes usw. 23
...., n. Die rechte Seite von (3) hat somit nur Wurzeln von M(x) = 0
zu Nullstellen und gehört ferner als symmetrische Funktion der Elemente
V V V
ßß > ßz >•■■■> ßn ’ bezug auf ß von erster Art sind, dem
Körper $ an, sodaß die Richtigkeit von (3) erwiesen ist, wenn man
noch bedenkt, daß die Grade beider Seiten gemäß (4) übereinstimmen.
Zugleich mit JZX (x; ßß sind wegen der Unzerlegbarkeit von N (a;)
auch die Funktionen (x; ßß) i = 1, 2,...., n irreduzibel. Ist also ax
Wurzel von Jfx (x; ßß = 0, so besitzt ctx in bezug auf $ (ßß) den
reduzierten Grad m' und den Exponenten Nach unserem Hilfssatz
annulliert dann ßx eine irreduzible Funktion in ß' (a) vom reduzierten
Grade n' und vom Exponenten v', die wir mit N\ (ctx; x) bezeichnen
wollen. Da N (aß mit N1(a1; x) die Nullstelle ßx gemeinsam hat, so
ist N (x) = 0 (Nx (ctj ab) und hieraus leitet man mit Hilfe derselben
Schlüsse wie oben die Zerlegung:
c2 N(xßm"p^ =W1 (04,; • Nr (a2‘, xß^ ■.■ N\ (am; xß^
ab. Um unseren Satz vollständig zu beweisen, haben wir noch zu
zeigen, daß man Nx(ax;a;) gleich (N(a?), J\l1 (ux; xß und umgekehrt
Afx(a?; ßß gleich (M(x), Nt(x; ßß) setzen kann. Es genügt nun aber
offenbar, diesen Nachweis unter der Annahme zu führen, daß in
Afx (x;ßß bzw. Nx (ctx; a;) der Koeffizient des Gliedes höchster Potenz
in x gleich 1 ist. Sollte nämlich diese Voraussetzung nicht erfüllt
sein, so erreicht man stets durch Multiplikation mit einer ganzen
Funktion -ip (ßß bzw. cp (aß mit Koeffizient aus ß und von niedri-
gerem Grad als N(a?) bzw. M (x), daß yj ßß ■'M1(x1; ßß bzw.
(p (aß ■ N1(a1; x) unserer Annahme genügen. Da xp (x) bzw. <p(a?) zu
N(a;) bzw. M (x) teilerfremd sind, so ist (N (x), xp (x)-Mr (ax; x'ß -
(N (xß (ctx; xß und (M (xß cp (x) • Nx (x; ßß) = (M(xß N\ (x-, ßß).
Aus _ZRX (ax; ßß = 0, folgt, daß M, (a1; x) mit jVx (ap x) die
Nullstelle ßx gemeinsam hat, demnach (a1;x) = 0 (Nx (a j xß ist.
Afx (ar; x) besitzt ferner außer den Wurzeln ßlf ß2, ...., ß von
N1(a1;a?) keine Nullstellen aus der Reihe ß1} ß2,denn die linke
Seite von (1) hat offenbar a± genau n'p^* mal zur Nullstelle, so-
, il-LJ/'
daß ax genau—- - = n' Funktionen aus der Reihe AQ (a;;/?x),
p 1 ‘
Afx (x',ß.ß, , (x-, ßß annulliert und somit Afx (ar-, x) = 0 genau
w'Wurzeln aus der Reihe ßlf ß2,...., ßn haben muß. Ist v'= v, so
ist durch die vorstehenden Überlegungen bereits gezeigt, daß N1(a1’,x)
bis auf einen konstanten Faktor aus fi(ax) gleich (N («), Jfx (ax; a;))
ist, weil dann N (x) nur durch Nx(czx;a;) selbst und keine höhere