Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

22

Friedbich Karl Schmid?:

Nunmehr können wir das zu beweisende Reziprozitätsgesetz auf
unvollkommene Körper übertragen. Es lautet:
Satz 1: Seien M. («) und N ßx) zwei irreduzible ganze
Funktionen in einem unvollkommenen Körper $
von der Charakteristik^,^ und n die zugehörigen
reduzierten Grade, /z und v die Exponenten, av a>,
am bzw. ß±, ß2, ...., ßn die voneinander ver-
schiedenen Wurzeln. Ist dann ßv; ßß) eine in
(ßß) irreduzible Funktion vom reduzierten Grade
m' und vom Exponenten /z', die M(x) teilt, so be-
steht die Zerlegung
(3) cx Mßx)n'pV' = (x; ßß < (*; ß.f...... (x- ßj\
wo cx Element aus $ ist und n' bzw. v’ durch die
Gleichungen
(4) ‘ m-n' = n-m' bzw. p. + v' — v + /z'
bestimmt sind. Schreibt man Jf. (rr; ßß als ganze
Funktion von ßr und ersetzt x durch 04 u n d ßY
durch x, so ist der größte gemeinschaftliche
Teiler (W (x)> (04; a?))1) von N ßxß und x) eine
irreduzible Funktion (o^; x) vom reduzierten
Grade n' und vom Exponenten v', und es gilt die
zu (3) reziproke Zerlegung:
e, («1; • W, O2; .• ff.
Schließlich kann M-^x; ßß erklärt werden als
der größte gemeinschaftliche Teiler (Af(at), N± (x; ßßß
v o n M(x) und d e r j e n i gen Fu n k t i o n ßc-, ßß, d ie m an
aus N1(a1;x') erhält, wenn man ax durch x und x
durch ß Ä ersetzt.
Zur Erzielung einer möglichst einheitlichen Bezeichnung sind in
der eben gegebenen Formulierung des Satzes an Stelle der von Herrn
A. Loewy benutzten Buchstaben Ä und 1> die Buchstaben JT und N
gesetzt worden. Für /z = v = 0 geht aus dem obigen Satz der des
Herrn A. Loewy unmittelbar hervor.
Beweis: Aus Af(») = 0 (A^ (a;;/5e) folgen wegen der Unzerleg-
barkeit von N (x) die Kongruenzen JH(x)~ 0 (x; ßß) i=l, 2,

b Der größte gemeinschaftliche Teiler zweier Funktionen f {x) und g (x)
wird im folgenden stets mit <7(T)) bezeichnet.