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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0007
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 7
Es muß also 2r (qv q2, ..Qk_2, %) frei von x, demnach '2r (ßx, q2, ..
Qi—2’ Qk-i) fre‘ von Qk-i seiQ- Mithin hat man: 2r (px, q2, . .Qk) -
Ar (.Ql’ Q2’ • ■ ■’ Qk-i) — F (Ql’ Q2’ • • •> Qk-z)- So fortfahrend erkennt man
successiv, daß 2r (@x, q2, ..Q1—2) auch keine der Größen Qk_2, Qk_3, • ■ Qi
enthält. Man hat daher das Resultat: Ist 2 (px, q2, ..= 0 und führt
man 2 (gx, q2, ..., Qk) mittels der Gleichungskette Xk (x-, qv q2, Qk_ß) = Q,
X.k_x (x '} px, q2> . . ., Qjc—2) == G ... (F ’ Qi) == fk (f) ' G der
o^., Qj.^, ..q± genügen, in die reduzierte Form 2r (^x, q2, ..ql))
über, so enthält diese die Größen ox, q2, ..., Qk überhaupt nicht, und
ist also eine bloße Zahl aus P, die sich wegen 2 (ßx, q2, ..Qk) = 0
als Null ergibt. Betrachtet man jetzt die zu untersuchende Größe
2 (Qii’ Q2i’ • • •’ Qki)> so kann diese mittels der Gleichungkette Xx (af) = 0,
ä72 (x; ßx.) = 0, X3 (x; Qlit g2i) = 0, ..., Xk (x; Qli, Q2i, ..., Qk^ = 0,
die durch die Größen Qti, g2i, ..., Qki befriedigt wird, von hinten be-
ginnend, in die reduzierte Form 2r Q2i, ..., Qki) übergeführt werden.
Diese Größe ist aber, wie oben gezeigt, frei von Qki, o2i, ..., Qki und
besitzt den Wert 0. Hiermit ist unser Satz bewiesen.
Beweis ß. Der Beweis des Satzes 1 läßt sich auch durch voll-
ständige Induktion führen, indem man ihn für k — n als richtig annimmt
und zeigt, daß er dann auch noch für ÄJ = n-j-l zutrifft. Es soll
also nachgewiesen werden, daß unter der Voraussetzung der Richtig-
keit des Theorems für k = n aus 2 (px, q2, .. ., 2«+i) — 0 auch noch
2 (oxi, gw-|_i$) = 0 folgt. Zum Beweise dividiere man die ganze
Funktion 2 (g»x, q2, ..., Qn, x) der Unbestimmten x mit Koeffizienten aus dem
Körper (P; px, q2, ..., on) durch die ganze Funktion Xn 1 x (x; qv q2, ..., Qn).
Hierdurch erhält man die Relation
(1) 2 (px, Q2, . . ., On, X) = XMj_x (Xj Ox, O2, . . . Qn)‘ F (•%’ Q11 @2’ • • •’ Qn)
-j- P (X’y Q2, . . ., Qtl),
wobei F (a?; px, q2, ..., Qn) und II (x; qv q2, ...,Qn) ganze Funktionen
von x mit Koeffizienten aus dem Körper (P; qv q2, ..., Qn) bedeuten
und Pb (x-, qv q2, ..., on) als Divisionsrest in x von niedrigerem Grade als
Xn_|_x (x; qx, q2, ..Qn) ist. Ersetzt man in (1) die Unbestimmte x durch
Pn-l-i, so folgt, da pn-i-i Wurzel der Gleichung Xn_|_i (x-, px, q2, ..., pn) = 0
ist und weiter voraussetzungsgemäß 2 (px, q2, ..., Qn+i) = 0 sein soll,
daß Pb (Qn^i; qv q.2, ..., Qn) = 0 wird. Die Größe ^«+1 kann aber
keiner Gleichung niedrigeren Grades P (x; q±, q2, . . ., Qn) = 0 mit
Koeffizienten aus (P; @x, q2, ..., Qn) als der in diesem Körper irre-
duziblen Gleichung Xn_|_i (x; px, q2, ..., Qn) = Q genügen. Mithin muß
Pb identisch Null sein, und die Relation (1) reduziert sich auf
'.,2; 2 (ox, q2, ..Qn, x) = An_|_x (x‘, px, q2, ..., Qn). F (x‘, £>x, q2, • •.,
Es muß also 2r (qv q2, ..Qk_2, %) frei von x, demnach '2r (ßx, q2, ..
Qi—2’ Qk-i) fre‘ von Qk-i seiQ- Mithin hat man: 2r (px, q2, . .Qk) -
Ar (.Ql’ Q2’ • ■ ■’ Qk-i) — F (Ql’ Q2’ • • •> Qk-z)- So fortfahrend erkennt man
successiv, daß 2r (@x, q2, ..Q1—2) auch keine der Größen Qk_2, Qk_3, • ■ Qi
enthält. Man hat daher das Resultat: Ist 2 (px, q2, ..= 0 und führt
man 2 (gx, q2, ..., Qk) mittels der Gleichungskette Xk (x-, qv q2, Qk_ß) = Q,
X.k_x (x '} px, q2> . . ., Qjc—2) == G ... (F ’ Qi) == fk (f) ' G der
o^., Qj.^, ..q± genügen, in die reduzierte Form 2r (^x, q2, ..ql))
über, so enthält diese die Größen ox, q2, ..., Qk überhaupt nicht, und
ist also eine bloße Zahl aus P, die sich wegen 2 (ßx, q2, ..Qk) = 0
als Null ergibt. Betrachtet man jetzt die zu untersuchende Größe
2 (Qii’ Q2i’ • • •’ Qki)> so kann diese mittels der Gleichungkette Xx (af) = 0,
ä72 (x; ßx.) = 0, X3 (x; Qlit g2i) = 0, ..., Xk (x; Qli, Q2i, ..., Qk^ = 0,
die durch die Größen Qti, g2i, ..., Qki befriedigt wird, von hinten be-
ginnend, in die reduzierte Form 2r Q2i, ..., Qki) übergeführt werden.
Diese Größe ist aber, wie oben gezeigt, frei von Qki, o2i, ..., Qki und
besitzt den Wert 0. Hiermit ist unser Satz bewiesen.
Beweis ß. Der Beweis des Satzes 1 läßt sich auch durch voll-
ständige Induktion führen, indem man ihn für k — n als richtig annimmt
und zeigt, daß er dann auch noch für ÄJ = n-j-l zutrifft. Es soll
also nachgewiesen werden, daß unter der Voraussetzung der Richtig-
keit des Theorems für k = n aus 2 (px, q2, .. ., 2«+i) — 0 auch noch
2 (oxi, gw-|_i$) = 0 folgt. Zum Beweise dividiere man die ganze
Funktion 2 (g»x, q2, ..., Qn, x) der Unbestimmten x mit Koeffizienten aus dem
Körper (P; px, q2, ..., on) durch die ganze Funktion Xn 1 x (x; qv q2, ..., Qn).
Hierdurch erhält man die Relation
(1) 2 (px, Q2, . . ., On, X) = XMj_x (Xj Ox, O2, . . . Qn)‘ F (•%’ Q11 @2’ • • •’ Qn)
-j- P (X’y Q2, . . ., Qtl),
wobei F (a?; px, q2, ..., Qn) und II (x; qv q2, ...,Qn) ganze Funktionen
von x mit Koeffizienten aus dem Körper (P; qv q2, ..., Qn) bedeuten
und Pb (x-, qv q2, ..., on) als Divisionsrest in x von niedrigerem Grade als
Xn_|_x (x; qx, q2, ..Qn) ist. Ersetzt man in (1) die Unbestimmte x durch
Pn-l-i, so folgt, da pn-i-i Wurzel der Gleichung Xn_|_i (x-, px, q2, ..., pn) = 0
ist und weiter voraussetzungsgemäß 2 (px, q2, ..., Qn+i) = 0 sein soll,
daß Pb (Qn^i; qv q.2, ..., Qn) = 0 wird. Die Größe ^«+1 kann aber
keiner Gleichung niedrigeren Grades P (x; q±, q2, . . ., Qn) = 0 mit
Koeffizienten aus (P; @x, q2, ..., Qn) als der in diesem Körper irre-
duziblen Gleichung Xn_|_i (x; px, q2, ..., Qn) = Q genügen. Mithin muß
Pb identisch Null sein, und die Relation (1) reduziert sich auf
'.,2; 2 (ox, q2, ..Qn, x) = An_|_x (x‘, px, q2, ..., Qn). F (x‘, £>x, q2, • •.,