Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Alfred Loewy:

sich entsprechend der Anzahl ihrer verschiedenen Permutationen aus-
drückt, die Ordnung s.
Faßt man diese Ergebnisse unter Berücksichtigung der Sätze 1
und 2 des § 1 zusammen, so erhält man den
Hauptsatz 1 der Galoisschen Theorie. Bildet man für eine
Gleichung f(x)= 0 vom nten Grade mit lauter verschiedenen
Wurzeln tq, a2,..., a.ra und Koeffizienten aus dem Körper P die
durch die Wurzeln alt a2, ..., an festgelegte Gleichungskette
(U) = öl) ~ 6> f 3 Ul = 6, • • •? fn (U al> ö2’ ■ • •? an--l) -
und besitzen diese Gleichungen die Grade 7z1; 7?2, ..7?w,
so existiert für die Gleichung f(x) = 0 eine Gruppe von
s = h2 . . . hn untereinander verschiedenen Permuta-
tionen (01 °2 ) die GALOissche Gruppe von 7’(U = 0.
a2i • • • 11
Dabei durchläuft axi alle Wurzeln von /j(a;) = O, a2i alle
Wurzeln von f2 (x-, ali) = 0, a3i alle Wurzeln von f3 (x; ali} a2i)
= 0, und so weiter, schließlich ani alle Wurzeln von
fn(x; a2i, ..an_3i) = 0. Die s Permutationen dieser Gruppe
und auch nur sie allein erschöpfen alle Ersetzungen, die alle
richtigen Gleichun gen mit Koeffizienten aus P, die zwischen
den Wurzeln a1,a2,...,an der Gl eich ung f (x) = 0 bestehen,
wieder in richtige Gleichungen überführen.
Aus dem Satze 3 des § 1 ergibt sich der
Hauptsatz 2 der Galoisschen Theorie. Behält eine rationale
Fun ktion /z (a13 ct2, ..., anj der Wurzeln alf a2, . . an einer
Gleichung f(x) = 0 mit Koeffizienten aus P bei allen Per-
mutationen der GALoisschen Gruppe von f (x) = 0 den selben
Wert c, so ist c eine Zahl aus P
Aus der im letzten Satze abgeleiteten Haupteigenschaft der
Galois sehen Gruppe folgt im besondern das bisher noch nicht
benützte Theorem, daß sich jede symmetrische Funktion
S(ctj, ct2. ..., cq) der Wurzeln a1} a2, ..an einer Gleichung.
f (x) = r0 xn -f- q c„ = 0 durch die Koef fiziente n
von f (x) = 0 ausdrücken läßt. Um dies zu beweisen, wähle man
den Körper P als den kleinsten Körper, der die Koeffizienten von
S (cq, a2, . a„) sowie die unbestimmten Gleichungskoeffizienten c0, q,
c2, . .cn enthält. Da sich S (at, a2, ..., cq) als symmetrische Funk-
tion der Größen ai,a2,...an bei allen möglichen Permutationen von
ax, a2, ..., aw sogar formal nicht ändert, behält es auch gewiß bei
denjenigen Permutationen von cq, ct2, ..., an, die der GALOisschen Gruppe'