Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Nene elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 27
Satz 42. Die Größen olf a2, ..., ot mögen die gleiche
Bedeutung wie im Satz 4 haben und genüge der in
(P; ox, g2,..ot-_x) irreduziblen Gleichung o2,..o(_x).= 0
vom Grade ti (i — 1,2, ..I). Es seien g^ die Größen
o1,o2, ..., in irgendwelcher Reihenfolge. Im Körper (P;
o<5x, %,• ••, ö<3i_x) genüge ö(5. (? = 1, 2/...J) einer irreduziblen
Gleichung Y* (x; 0^,0^, ..Gß.__i)= 0 mit Koeffizienten aus
(P; g^, vom Grade £{*. Dann ist stets /x /2... -
'1 <2 ‘ ‘ '
Nach Satz 4 ist nämlich sowohl /x ^2 . . . ^ als auch t2* ... t*,
da ox, o2, ..., und o§ , ag^ abgesehen von der Reihenfolge,
die nämlichen Größen sind, gleich —- .
Wählt man in Satz 42 die Zahl l = 2, weiter ox=£x, o2 —@2, also
a<5x = £?S’ad2~öi’ so ergibt diese Spezialisierung nichts anderes als
den KnoNECKER-KNESERschen Satz: Genügen und o2 im
Körper P irreduziblen Gleichungen /x bzw. A^-ten Grades
und befriedigt q2 nach Adjunktion von ox im Körper (P; @x)
eine irreduzible Gleichung Z2 -1 e n Grades, während
im Körper (P; @2) einer irreduziblen Gleichung t2* -1 e n
Grades genügt, so ist t1t2=t1*t2*.
Für die folgenden Untersuchungen formulieren wir zunächst
-1 Qz • ‘ • Qk'y aue Trans-
Qli Qzi • • • Qkis
mutationen S der Dirigenten Qv Q^ • • •> Qk des Körpers
(P; Pi, o9,..un<I ist ( -1 ) eine beliebige, aber
\Ql_a Qza • • • QkaJ
feste Transmutation aus S, also £xa, £2«, • •., Wurzeln
der Gleichu ngskette Xx(a?) = 0, X2(x-, Qia) = 0, X3(^?; gia, q2Y) = 0,...,
(x ; (?Xa, o2a’• • •> (?fc-ia) “0, so werden alle Transmutationen
der Dirigenten exa, p2a,..des K ö r per s (P; Qla,Q2a, .. .,^7-J
d u r c h ( -ia -2“ ‘ ] gegeben, -wobei sich nur der Zähler
\!?li Qzi ' ' • Qki/
geändert hat.
Nach dem im § 1 auf Seite 8 bewiesenen Hilfssatze sind die
Gleichungen Nx (x) = 0, X2 (z; pxa) = 0, X3 (x-, gla, g2a) - 0, ...,
^k{x)Qia) Qza} Qk-ia) — 0 irreduzibel in den Körpern P bzw.

A. Kneser, Math. Annalen 30 (1887), 195 vgl. auch A. Loewy, Math.
Zeitschrift 15 (1922), 265. Verallgemeinerung bei Friedrich Karl Schmidt, Bei-
träge zur Algebra 4, diese Sitzungsberichte 1925, 5. Abhandlung, S. 21.

einen wichtigen Hilfssatz: Sind