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https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0029
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisschen Theorie. 29
zuletzt genannte Transmutation ist eine solche der Dirigenten Qlb, Q2b,.. .,Qkb
des Körpers (P; Qlb g2b, ..., Qkb). Sie soll als die inverse Trans-
mutation Pa-1 von P„ bezeichnet werden. Ersichtlich sind sowohl
Pa und Pa-1 als auch Pa-1 und Pc( konsekutive Transmutationen,
und man hat Pa • Pa_1 = ( '2a ''' gleich der identischen Trans-
mutation der Dirigenten Qla, g2a, ...,Qka des Körpers (P;pla, Q2a,
während Pa-1 Pa = (^lb '2b “ ’ ^kb i gleich der identischen Transmutation
\ £?lö Qzb • • • QkbJ
der Dirigenten p1&, q2b, ..., Qkb des Körpers (P; $lb, Q2b, . .Qkb) wird.
Bedeuten P(Z und Pö zwei konsekutive Transmutationen, so sind
p,-1 — (^ic @2C • • • undP _1 = f ^2& ’ ’' in der Reihenfolge
\{?i& @2b • • • QkbJ a • • • QkaJ
Pö_1, Pa_1 konsekutive Transmutationen, und ihr Produkt Pö_1 Pa_1
ist die inverse Transmutation (Pft P^)-1 von Pa P&.
Benützt man den Begriff der inversen Transmutation, so kann man
dem Hilfssatz auf Seite 27 die folgende Fassung geben:
Ist <5 d as Transmutationssystem der Dirigenten ^2,
des Körpers (P; m, ..., p7.) und bede utet P = f-1 ~2
\{?ia Q2a • • • Qka./
eine beliebige, feste Transmutation aus <5, so sind P“1
und jede Transmutation aus (& konsekutive Transmuta-
tionen, und es läßt sich das Transmutationssystem der
Dirigenten Qla, Q2a, . . Qka des Körpers (P; , e2« > • • • > 0*«)
in der Form P-1 S schreiben.
Nachdem wir im Satz 4 die Wirkung der Adjunktion von a1. o2.
zum Körper P untersucht haben, behandeln wir, in Erweiterung der
Sätze 1 und 2 dieses § auf den Fall von 1 Funktionen, das Trans-
mutationssystem, das sich ergibt, wenn o1, a2, ..., zu Dirigenten des
Körpers (P; <7n o2, ..., oz) gewählt werden.
/
Satz 5.1) (@x, p2, ..., 2^), o2 (pp p3, • • (21; o2, • • Qk)
seien rationale Funktionen von p2, ..., Qk mit Koeffi-
zienten aus P.
öi genüge im Körper (P; o2, ..., der in diesem
Körper irreduziblen Gleichung (x-, g±, o2, ..., = 0
vom Grade {i= 1, 2, ..., Z). Dann besteht die Gesamtheit 2
der Transmutationen ( 01 °2 ’ * ’ ) der Dirigenten a1? g2, ...,
\°li °2i • • • °li/
s
des Körpers (P; <>!, o2, ..., oz) aus Z2 ... Zz =-Transmu-
tationen. 12 z
) Dieser Satz ist für das Folgende entbehrlich.
zuletzt genannte Transmutation ist eine solche der Dirigenten Qlb, Q2b,.. .,Qkb
des Körpers (P; Qlb g2b, ..., Qkb). Sie soll als die inverse Trans-
mutation Pa-1 von P„ bezeichnet werden. Ersichtlich sind sowohl
Pa und Pa-1 als auch Pa-1 und Pc( konsekutive Transmutationen,
und man hat Pa • Pa_1 = ( '2a ''' gleich der identischen Trans-
mutation der Dirigenten Qla, g2a, ...,Qka des Körpers (P;pla, Q2a,
während Pa-1 Pa = (^lb '2b “ ’ ^kb i gleich der identischen Transmutation
\ £?lö Qzb • • • QkbJ
der Dirigenten p1&, q2b, ..., Qkb des Körpers (P; $lb, Q2b, . .Qkb) wird.
Bedeuten P(Z und Pö zwei konsekutive Transmutationen, so sind
p,-1 — (^ic @2C • • • undP _1 = f ^2& ’ ’' in der Reihenfolge
\{?i& @2b • • • QkbJ a • • • QkaJ
Pö_1, Pa_1 konsekutive Transmutationen, und ihr Produkt Pö_1 Pa_1
ist die inverse Transmutation (Pft P^)-1 von Pa P&.
Benützt man den Begriff der inversen Transmutation, so kann man
dem Hilfssatz auf Seite 27 die folgende Fassung geben:
Ist <5 d as Transmutationssystem der Dirigenten ^2,
des Körpers (P; m, ..., p7.) und bede utet P = f-1 ~2
\{?ia Q2a • • • Qka./
eine beliebige, feste Transmutation aus <5, so sind P“1
und jede Transmutation aus (& konsekutive Transmuta-
tionen, und es läßt sich das Transmutationssystem der
Dirigenten Qla, Q2a, . . Qka des Körpers (P; , e2« > • • • > 0*«)
in der Form P-1 S schreiben.
Nachdem wir im Satz 4 die Wirkung der Adjunktion von a1. o2.
zum Körper P untersucht haben, behandeln wir, in Erweiterung der
Sätze 1 und 2 dieses § auf den Fall von 1 Funktionen, das Trans-
mutationssystem, das sich ergibt, wenn o1, a2, ..., zu Dirigenten des
Körpers (P; <7n o2, ..., oz) gewählt werden.
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Satz 5.1) (@x, p2, ..., 2^), o2 (pp p3, • • (21; o2, • • Qk)
seien rationale Funktionen von p2, ..., Qk mit Koeffi-
zienten aus P.
öi genüge im Körper (P; o2, ..., der in diesem
Körper irreduziblen Gleichung (x-, g±, o2, ..., = 0
vom Grade {i= 1, 2, ..., Z). Dann besteht die Gesamtheit 2
der Transmutationen ( 01 °2 ’ * ’ ) der Dirigenten a1? g2, ...,
\°li °2i • • • °li/
s
des Körpers (P; <>!, o2, ..., oz) aus Z2 ... Zz =-Transmu-
tationen. 12 z
) Dieser Satz ist für das Folgende entbehrlich.