DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43388#0031
Neue elementare Begründung u. Erweiterung d. Galoisscheu Theorie. 31
eine weitere Transmutation
Sz bilden; dabei
Gesamtheit derjenigen Transmutationen aus bei
.Q/.) seinen Wert beibehält (y= 1, 2, ..., Z). Ist
Qk \ irgendeine Transmutation aus S, so sind, wie
QkaiJ
'•iaii • • • •> Qkai mb 215 Q2 5 • • •5 Qk bl
o. (ei, 02, Qk) (; = 1, 2,..., Z' ’
die zuletzt genannten Z Funktionen mit cc Q2ai> •
wertig seien. Dann würde P,,,.-1 P* -
Wir zeigen zuerst, daß die gegebenen Z Funktionen ax (px, q2, ..., @fc),
o2 (21, 225 • • -5 2J5 • • - 5 07 (215 225 •• -5 2fc) eine Zerlegung des Transmu-
tationssystems S von der Form (*) unseres Satzes bestimmen. Nachdem
Satz 4 bleiben die Funktionen (^i, 225 ■ • ••> Qk\ a2 (215 225 • • - 5 2/^5 • • • 5
<>z (215 225 • • • 5 2k) bei den s12 ... z = —-— Transmutationen S12 ... z
H f2 • • • *7
ungeändert, die den Durchschnitt von <S1? ©2, ..
bedeutet S. die
denen o. (@15 @2
p . f 2i 22 • •
- \Q\aiQ2ai' •
m § 1 gezeigt, die Größen 2:
jeder Weise gleichberechtigt. Bedeutet demnach die Gesamtheit
derjenigen Transmutationen aus dem Transmutationssystem PJ71 <5
der Dirigenten Qlai, o2ai, ..., @kai des Körpers (P; pia., p2a., ..., p^.),
bei denen die Funktion p2ai, ..., ihren Wert beibehält,
weiter S12 1 {«<} den Durchschnitt von , , <S2 (? ,..., <5Z ( \ , so
S
umfaßt . wz {ai} genau s12 ... z = 7-7-r Transmutationen der Diri-
genten q2av Qka. aus dem Körper (P; Q2ai, ..Q1:a^, den Pßi
bestimmt. Nach dem Hilfssatz sind die Nenner des Transmutations-
systems PaW (§, also auch diejenigen seines Bestandteiles ®12. ^(z {“d
nur solche, die auch bei den Transmutationen von S auftreten. Hieraus
folgt, daß der Komplex Pai S^/.^z {«<}, bei dem nur der Zähler in
2i> 22’ • • • ’ Qk verwandelt wurde, ebenso wie ®12 genau s12 ... z ver-
schiedene Transmutationen enthält. Die Transmutationen Pö. ®]2 ra^
gehören S an und führen die Z Funktionen ax (pt, q2, ..., qj)),
^2 (21 5 225 • • • 5 2 7c) 5 • • • 5 (21 5 22 5 • • • 5 Qk) bl <7X (21«Z5 Qiai 5 • • • 5 Qka^i
o2 (2iap 22«$ > - Qkai') • • ■ Q2ai, ..., oder in mit den zuletzt
genannten Funktionen gleichwertige über.
Wir erbringen jetzt den Nachweis, daß mit den s12 ... z Trans-
mutationen P„v. ®12 (l)z{aA alle Transmutationen aus S erschöpft sind,
durch die man die Z Funktionen o. (px, p2, ..., pZi.) (7= 1, 2, ..., Z) in
cj (,Qiav Qiaii ■ • -5 Qka^) überführen kann. Angenommen, es gäbe noch
), die S, aber nicht
■•Qk P ’
^Qiai, Q2aV ■ ■ ; Qka^ überführen kann.
p* __ ( 21 !
\2i'r (
seinem Untersystem Pffii (&12 angehört und das Funktionensystem
Z) in o. (@x*, ^2*5 • • • 5 Qk') überführt, wobei
. -5 2U gleich-
Qlai Q2ai • • • Qkai\ 21 22 • • • 2&
2i 22 ..-2fc A2i* 22*..-27ZZ
eine weitere Transmutation
Sz bilden; dabei
Gesamtheit derjenigen Transmutationen aus bei
.Q/.) seinen Wert beibehält (y= 1, 2, ..., Z). Ist
Qk \ irgendeine Transmutation aus S, so sind, wie
QkaiJ
'•iaii • • • •> Qkai mb 215 Q2 5 • • •5 Qk bl
o. (ei, 02, Qk) (; = 1, 2,..., Z' ’
die zuletzt genannten Z Funktionen mit cc Q2ai> •
wertig seien. Dann würde P,,,.-1 P* -
Wir zeigen zuerst, daß die gegebenen Z Funktionen ax (px, q2, ..., @fc),
o2 (21, 225 • • -5 2J5 • • - 5 07 (215 225 •• -5 2fc) eine Zerlegung des Transmu-
tationssystems S von der Form (*) unseres Satzes bestimmen. Nachdem
Satz 4 bleiben die Funktionen (^i, 225 ■ • ••> Qk\ a2 (215 225 • • - 5 2/^5 • • • 5
<>z (215 225 • • • 5 2k) bei den s12 ... z = —-— Transmutationen S12 ... z
H f2 • • • *7
ungeändert, die den Durchschnitt von <S1? ©2, ..
bedeutet S. die
denen o. (@15 @2
p . f 2i 22 • •
- \Q\aiQ2ai' •
m § 1 gezeigt, die Größen 2:
jeder Weise gleichberechtigt. Bedeutet demnach die Gesamtheit
derjenigen Transmutationen aus dem Transmutationssystem PJ71 <5
der Dirigenten Qlai, o2ai, ..., @kai des Körpers (P; pia., p2a., ..., p^.),
bei denen die Funktion p2ai, ..., ihren Wert beibehält,
weiter S12 1 {«<} den Durchschnitt von , , <S2 (? ,..., <5Z ( \ , so
S
umfaßt . wz {ai} genau s12 ... z = 7-7-r Transmutationen der Diri-
genten q2av Qka. aus dem Körper (P; Q2ai, ..Q1:a^, den Pßi
bestimmt. Nach dem Hilfssatz sind die Nenner des Transmutations-
systems PaW (§, also auch diejenigen seines Bestandteiles ®12. ^(z {“d
nur solche, die auch bei den Transmutationen von S auftreten. Hieraus
folgt, daß der Komplex Pai S^/.^z {«<}, bei dem nur der Zähler in
2i> 22’ • • • ’ Qk verwandelt wurde, ebenso wie ®12 genau s12 ... z ver-
schiedene Transmutationen enthält. Die Transmutationen Pö. ®]2 ra^
gehören S an und führen die Z Funktionen ax (pt, q2, ..., qj)),
^2 (21 5 225 • • • 5 2 7c) 5 • • • 5 (21 5 22 5 • • • 5 Qk) bl <7X (21«Z5 Qiai 5 • • • 5 Qka^i
o2 (2iap 22«$ > - Qkai') • • ■ Q2ai, ..., oder in mit den zuletzt
genannten Funktionen gleichwertige über.
Wir erbringen jetzt den Nachweis, daß mit den s12 ... z Trans-
mutationen P„v. ®12 (l)z{aA alle Transmutationen aus S erschöpft sind,
durch die man die Z Funktionen o. (px, p2, ..., pZi.) (7= 1, 2, ..., Z) in
cj (,Qiav Qiaii ■ • -5 Qka^) überführen kann. Angenommen, es gäbe noch
), die S, aber nicht
■•Qk P ’
^Qiai, Q2aV ■ ■ ; Qka^ überführen kann.
p* __ ( 21 !
\2i'r (
seinem Untersystem Pffii (&12 angehört und das Funktionensystem
Z) in o. (@x*, ^2*5 • • • 5 Qk') überführt, wobei
. -5 2U gleich-
Qlai Q2ai • • • Qkai\ 21 22 • • • 2&
2i 22 ..-2fc A2i* 22*..-27ZZ